《2023届浙江省高三物理高考复习101微专题模型精讲精练》第13讲 小船渡河模型（解析版）

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第 13 讲 小船渡河模型
1．（2021·辽宁）1935 年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪
林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽 300m，水流速度 3m/s，木船相对静水速度
1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（　　）
A．75s B．95s C．100s D．300s
【解答】解：当静水速度与河岸垂直时，垂直于河岸方向上的分速度最大，则渡河时间最短，
最短时间为：
t
¿d
vc
=300
1
s＝300s，故 D正确，ABC 错误；
故选：D。
一.知识回顾
1.模型构建
（1）常规简单模型：实际运动是匀速直线运动
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一个分运
动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在 180°范围内(在速度不变的分
运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的
运动系统可看成“小船渡河模型”。
（2）较复杂模型：实际运动是曲线运动
水速不变，但船在静水中速度变化；或者船在静水中速度不变，但水速大小变化。
2．模型特点
(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：船在静水中的速度
v
船、水的流速
v
水、船的实际速度
v
合。
3．实际运动是匀速直线运动的两类问题、三种情景
渡河时间最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，
最短时间 tmin＝
渡河位移最短 如果 v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角
θ满足 v船cos θ＝v水时，合速度垂直河
岸，渡河位移最短，等于河宽 d
如果 v船<v水，当船头方向(即v船方向)与
合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于
4.分析思路
5.解题方法：
小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。
船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分
解。
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运
动的独立性，
t
＝＝＝。
(4)求最短渡河位移时，当水速小于船速时即为河宽，当水速大于船速时，根据船速
v
船与水流
速度
v
水的情况用三角形定则求极限的方法处理。
二.例题精讲
题型一：实际运动是匀速直线运动的最短过河时间与最小位移问题
例1．一小船渡河，河宽 d＝180m，水流速度 v1＝2.5m/s。已知 sin37°＝0.6，cos37°＝0.8
（1）若船在静水中的速度为 v2＝5m/s，求：
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
（2）若船在静水中的速度 v2＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时
间？位移是多少？
（3）若小船只能停靠在河对岸下游 135m 处，则小船在静水中航速至少要达到多大？对应运动
时间是多少？船头指向与河岸夹角多大？
【解答】解：（1）①欲使船在最短的时间内渡河，则船在垂直河岸方向上的速度最大，则船头
垂直河岸，所用时间为
t1=d
v2
=180
5s=36 s
此时船航行的速度为
v=
√
v1
2+v2
2=
√
2. 52+52m/s=5
√
5
2m/s
位移为
x=v t 1=5
√
5
2×36 m=90
√
5m
②欲使船渡河的航程最短，船的航行速度方向指向对岸，如图所示
根据几何关系可知
v2sinα＝v1
解得：α＝30°
则当船头与上游河岸成 60°角时航程最短，此时的航行速度为
v=
√
v2
2− v1
2=
√
52−2. 52m/s=5
√
3
2m/s
则航行的位移为 x2＝d＝180m
所用时间为
t2=x2
v=180
5
√
3
2
s=24
√
3s
（2）若船在静水中的速度 v2＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，因为船在静水中的速度小于水
流速度，则船一定向下游飘移，设船航行的速度方向与下游河岸夹角为 β，则航程
x=d
sinβ
则β角越大，航程越短，当 β角最大时，航程最短，船头指向如图所示
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