《2022年高考物理二轮攻关夺分宝典——压轴题特训》专题10 用数学方法解决物理问题（原卷版）

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专题 10 用数学方法解决物理问题

【专题解读】................................................................................................................................ 1

【最新考向解密】........................................................................................................................ 2

1.利用指数研究 n次碰撞问题.............................................................................................. 2

2.利用数列研究 n次碰撞问题.............................................................................................. 3

3.数学不等式的应用.............................................................................................................. 5

4.数学方程式问题................................................................................................................. 6

5.微元法的应用..................................................................................................................... 7

【专题解读】

专题

复习

定位

解决问题本专题主要是应用数学知识和方法解决物理问题，考查分析、

归纳和推理能力，对数学能力的要求较高。

高考重点

应用数学方法处理物理问题的能力具体要求为：

(1)能根据具体的物理问题列出物理量之间的关系，能把有关的

物理条件用数学方程表示出来。

(2)在解决物理问题时，往往需要经过数学推导和求解；求得结

果后，有时还要用图象或函数关系把它表示出来；必要时还应

对数学运算的结果做出物理上的解释。

(3)能够运用几何图形、函数图象解决物理问题，能够对物理规

律、状态和过程在理解的基础上用合适的图象表示出来，会用

图象来处理物理问题。

高中物理解题常见的数学思想方法包括估算法、几何法、函数

法、比值法、图解法、极值法、微元法、归纳法、特殊值法、

极限分析法、分类讨论法等，经常要用到的数学知识包括平面

几何、函数图象、解三角形、不等式、数列、微积分初步等。

题型难度

本专题选择题和计算题都可涉及；选择题一般考查某一数学方

法的应用，难度中等；计算题主要考查应用数学知识分析、解

决物理问题的能力，题目难度较大。

【最新考向解密】

1.利用指数研究 n次碰撞问题

【例 1】(2021·宁夏吴忠市 4月二模)如图所示，倾角 θ＝30°的固定斜面与水平地面在 B点

平滑连接。质量 M＝9.0 kg 的滑块静止在水平地面上，滑块与地面之间的动摩擦因数 μ＝

0.25。现将质量 m＝1.0 kg 的光滑小球从斜面上 A点由静止释放，A点距水平地面的高度为

H＝5.0 m。已知小球与滑块间的碰撞是弹性碰撞，g取10 m/s2。

(1)求小球由 A下滑至 B过程所受支持力的冲量大小 I；

(2)小球与滑块第一次碰撞后返回斜面最大高度为 3.2 m，求第一次碰后滑块的速度大小

vM1；

(3)求小球与滑块发生第 n次碰撞后，滑块滑行的距离 sn。

2.利用数列研究 n次碰撞问题

【例 2】(2021·湖南师大附中高三月考)如图所示，足够长的光滑水平面上有一水平轻质弹

簧在其左侧固定，弹簧右端连接质量 m＝1 kg 的小物块 A，弹簧压缩后被锁定.传送带长 l＝

1 m，以 v＝2 m/s 的速度逆时针转动，它与水平面等高，并能平滑对接，传送带右侧与光

滑的曲面平滑连接.质量 M＝2 kg 的小物块 B从其上距水平面 h＝1.0 m 处由静止释放，经过

一段时间后与物块 A碰撞.设物块 A、B之间发生的是对心碰撞，碰撞后两者一起向前运动

且碰撞瞬间弹簧锁定被解除.B与传送带之间的动摩擦因数 μ＝0.2，取 g＝10 m/s2，两物块

均可视为质点.

(1)求物块 B与物块 A第一次碰撞过程中损失的机械能；

(2)若物块 B第一次与 A分离后，恰好运动到右边曲面距水平面 h′＝0.65 m 高的位置，求弹

簧被锁定时弹性势能的大小；

(3)在满足(2)问条件的前提下，两物块发生多次碰撞，且每次碰撞后分离的瞬间物块 A都会

立即被锁定，而当它们再次碰撞前锁定被解除，求物块 A、B第n次碰撞后瞬间速度大小.

【技巧总结】数列是高中数学的一个重点，日常生活中的很多实际问题都可以利用数列知

识进行求解，物理情境中也有很多问题与数列有关。某一复杂物理过程中如果同一物理情

境重复出现，往往会涉及数学归纳法和数列知识的应用。

高中物理涉及的数列知识主要有等差数列、等比数列、通项公式和前 n项和公式的应用等。

解题的基本思路分三步：第一步，逐个分析开始阶段的几个物理过程；第二步，利用数学

归纳法寻找变化物理量的通项公式；第三步，应用数列知识分析求解。3.数学不等式的应

用

【例 3】 [2022·浙江绍兴(新昌、浦江、富阳)三校联考]如图所示，轨道 ABCDE 是研究小

球在竖直平面内做圆周运动的条件的简易装置，A到水平桌面的高度为 H，最低点B处的

入、出口靠近但相互错开，C是半径 R＝10 cm 的圆形轨道的最高点，DE 部分水平，且恰

好与圆形轨道的圆心O1等高，水平桌面上的点 O2位于 E点的正下方。经过多次实验发现，

将一质量 m＝10 g 的小球从轨道 AB 上的某一位置 A由静止释放，小球恰能沿轨道运动通过

ABCDE 到达E点，不计小球与轨道的摩擦阻力以及空气阻力。(g＝10 m/s2)

(1)求出 A到水平桌面的高度 H，小球对圆轨道压力的最大值；

(2)若A距水平桌面高 H1＝0.3 m，小球仍由静止释放，到达E点离开轨道后落在水平桌面

上，求落点与 O2之间的水平距离 x；

(3)若小球仍从H1＝0.3 m 处由静止释放，但DE 到水平面的高度 h可变，求落点与 O2之间

的水平距离最大值。

【技巧总结】对于两个大于零的变量a、b，若其和 a＋b为一定值，则当 a＝b时，其积 ab

有极大值；若其积 ab 为一定值，则当 a＝b时，其和 a＋b有极小值。4.数学方程式问题

【例 4】.(2022·1 月湖南普通高校招生适应性考试，14)如图，一滑板的上表面由长度为 L

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