解三角形专题：中线、角平分线、高线问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）（解析版）

3.0 envi 2025-03-31 63 4 1.64MB 16 页 3知币
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平面向量专题：中线、角平分线、高线问题
一、中线
1、中线长定理：在
∆ ABC
中，
AD
是边
BC
上的中线，则
AB2+AC 2=2(BD2+AD2)
推导过程：在
∆ ABD
中，
cos B=AB2+BD2−AD2
2AB ∙ BD
，
在
∆ ABC
中，
联立两个方程可得：
AB2+AC 2=2(BD2+AD2)
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
2、向量法：
⃗
AD2=1
4
(
b2+c2+2bc cos A
)
推导过程：由
⃗
AD=1
2
(
⃗
AB +
⃗
AC
)
，
则
⃗
AD2=1
4
(
⃗
AB +
⃗
AC
)
2=1
4
⃗
AB2+1
4
⃗
AC 2+1
2
|
⃗
AB
||
⃗
AC
|
cos A
所以
⃗
AD2=1
4
(
b2+c2+2bc cos A
)
【点睛】适用于已知中线求面积（已知
BD
CD
的值也适用）.
二、角平分线
如图，在
∆ ABC
中，
AD
平分
∠BAC
，角
A
、
B
，
C
所对的边分别问
a
，
b
，
c
1、利用角度的倍数关系：
∠BAC =2∠BAD=2∠CAD
2、内角平分线定理：
AD
为
∆ ABC
的内角
∠BAC
的平分线，则
AB
AC =BD
DC
.
推导过程：在
Δ ABD
中，
AB
sin ∠ADB =BD
sin ∠BAD
，
在
Δ ACD
中，
AC
sin ∠ADC =CD
sin ∠CAD
，
⇒
AB
AC =BD
CD
，
该结论也可以由两三角形面积之比得证，即
SΔ ABD
SΔ ACD
=AB
AC =BD
CD
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，
再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问
题，
运用向量知识解决起来都较为简捷。
3、等面积法：
因为
S∆ ABD +S∆ ACD =S∆ ABC
，
所以
1
2
c ∙ ADsin A
2+1
2
b ∙ ADsin A
2=1
2
bcsinA
，
所以
(
b+c
)
AD=2bc cos A
2
整理的：
AD=
2bccos A
2
b+c
（角平分线长公式）
三、垂线
1、
h1，h2，h3
分别为
Δ ABC
边
a，b，c
上的高，则
h1:h2:h3=1
a:1
b:1
c=1
sin A:1
sin B:1
sin C
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
题型一 与中线有关的解三角形问题
【例 1】已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ， ，
（1）求证： ；
（2）若边 上中线 ，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（1）6
【解析】（1）由正弦定理及 ，得
又 ，
所以
由 ，得 ，代入上式整理得 ,即 ，
所以
（2）由（1）知 ，由正弦定理得 ①
在 中， ,
将①代入上式得 ，化简得
所以 ，
【变式 1-1】已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 的中点， 的面积为 ，求 的长．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
可得： ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ．
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