[26752062]精讲练04 整式方程-2020-2021学年八年级数学寒假精讲练专题（沪教版）

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精讲练 04 整式方程
【学习目标】
1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.
2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一
元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.
3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到
特殊的辨证思想.
4．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；
5．学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过
程，感受自主探究的快乐.
【要点梳理】
要点一、一元整式方程
1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;
2.一元 n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是
n
(
n
是正整数),这个方程叫做一元
n
次方程.
3.一元高次方程
概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是
n
，若次数
n
是大于 2 的正整数，这样的方程统称为
一元高次方程。
要点诠释：
一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于 2 次.
要点二、二项方程
1.概念：如果一元 n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就
叫做二项方程.
要点诠释：
注 ：①
n
ax
=0（a≠0）是非常特殊的 n 次方程，它的根是 0.② 这里所涉及的二项方程的次数不超过 6 次.
2.一般形式：
),0,0(0 是正整数nbabaxn
3. 二项方程的基本方法:是（开方）
4.解的情况：
当 n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，
nb
xa
 
；
当 n 为偶数时，如果 ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果 ab>0，那么方程没有实
数根.
要点三、双二次方程
1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程.
要点诠释：
当常数项不是 0 时，规定它的次数为 0.
2.一般形式：
)0(0
24 acbxax
3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代
4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方
程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。
要点诠释：
解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式
分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。
【精讲例题】
类型一、一元一次方程和一元二次方程的解法
1．（普宁市期末）解方程：
【思路点拨】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，从而得到方
程的解．
【答案与解析】
解：去分母得：
去括号得：
移项合并得：
系数化为 1 得： ．
【总结升华】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子
（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
举一反三：
【变式】
【答案】解：去分母得：
4( 2) 3(2 5) 2( 1) 12x x x  
去括号得：
4 8 6 15 2 2 12x x x 
合并同类项，得：
4 9x 
系数化为 1，得
9
4
x 
．
2．用因式分解法解下列方程：
(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0．
【思路点拨】 解决这类题目要有整体的思想，(1)中把“x+2”看做一个整体。（2）中把“2x+3”看做一
个整体，然后进行因式分解。
【答案】
(1)移项．得 3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．
∴ x+2＝0 或 3x+4＝0，
∴ x1＝-2，
2
4
3
x 
．
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