专题04 不等式【知识梳理】（解析版）

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专题 04 不等式【知识梳理】

一、相等关系与不等关系

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

2.等式的性质

(1)对称性：若 a＝b，则 b＝a.

(2)传递性：若 a＝b，b＝c，则 a＝c.

(3)可加性：若 a＝b，则 a＋c＝b＋c.

(4)可乘性：若 a＝b，则 ac＝bc；若 a＝b，c＝d，则 ac＝bd.

3.不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).

【例题 1】已知，下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】

当，时，A、C均不成立；

当，时，，B不成立；

由于函数在 R上单调递增，，所以，故 D正确.

故选：D

【例题 2】已知，且．若，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】

依题意，且，

当时，，，由此排除 BD 选项.

当时，，可能相同，如，由此排除 C选项.

故选：A

【跟踪训练 1】设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】

A．因为，的正负无法确定，故错误；

B．因为，的正负无法确定，故错误；

C．因为，的正负无法确定，故错误；

D．因为，，所

以，所以，故正确，

【跟踪训练 2】若为实数，且，则下列命题正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】

对于 A，当时，，A错误；

对于 B，当，时，，，此时，B错误；

对于 C，，，C错误；

对于 D，，，，，

，D正确.

故选：D.

【跟踪训练 3】若，则下列不等式正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】

对于 A中，由，因为，可得，

所以，即，所以 A不正确；

对于 B中，由，因为，可得，

所以，所以 B不正确；

对于 C中，由，可得，

又由，可得，所以 C不正确；

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