新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第7讲　高效演练分层突破

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[基础题组练]
1．已知随机变量 ξ服从正态分布 N(2，σ2)，且 P(ξ＜4)＝0.8，则 P(0＜ξ＜4)＝(　　)
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
解析：选A．由 P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于 x＝2对称，则P(ξ≤0)
＝P(ξ≥4)＝0.2，所以 P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.
2．口袋中有编号分别为 1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取 2个，则取
出的球的最大编号 X的期望为(　　)
A． B．
C．2 D．
解析：选D．因为口袋中有编号分别为 1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中
任取 2个，所以取出的球的最大编号 X的可能取值为 2，3，所以 P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝
＝，所以 E(X)＝2×＋3×＝.
3．(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布 N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其
正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．甲类水果的平均质量 μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 σ2＝1.99
解析：选ABC．由图象可知甲图象关于直线 x＝0.4 对称，乙图象关于直线 x＝0.8 对称，
所以 μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A正确，C正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所
以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大
值为 1.99，即＝1.99，所以 σ2≠1.99，故D错误．
4．已知随机变量 X＋η＝8，若 X～B(10，0.6)，则 E(η)，D(η)分别是(　　)
A．6，2.4 B．2，2.4
C．2，5.6 D．6，5.6
解析：选B．由已知随机变量 X＋η＝8，所以 η＝8－X.
因此，求得 E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，
1
D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
5．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行 3个轮次的投篮；②每个轮次每人投
篮2次，若至少投中 1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮 1次投中的概率为.
如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲 3个轮次通过的次数 X的期望是(　　)
A．3 B．
C．2 D．
解析：选B．在一轮投篮中，甲通过的概率为 P＝，未通过的概率为.由题意可知，甲
3个轮次通过的次数 X的可能取值为 0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C××＝＝，
P(X＝2)＝C××＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以随机变量 X的分布列为
X0 1 2 3
P
数学期望 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
6．若随机变量 ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则 a－b＝________．
ξ0 1 2 3
P0.1 a b 0.1
解析：易知 a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由 E(ξ)＝0×0.1＋
1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得 a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
答案：－0.2
7．已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位：克)服从正态分布 N(100，4)，现从该产
品的生产线上随机抽取 10 000 件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有________件．
(附：若 X服从 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ＝0.954
5)
解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为 x＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的
产品的概率为 P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98，102]内的产品的概率为 P(μ－σ
＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率为 0.682 7＋＝
0.818 6，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量为 10 000×0.818 6＝8 186(件)．
答案：8 186
8．(2020·浙江浙北四校模拟)已知袋子中有大小相同的红球 1个，黑球 2个，从中任取
2个．设 ξ表示取到红球的个数，则 E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．
解析：从袋中 3个球中任取 2个球，共有 C种取法，则其中 ξ的可能取值为 0，1，且ξ
服从超几何分布，所以 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，所以 E(ξ)＝0×＋1×＝，D(ξ)＝×＋×
2
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