第02讲 等比数列-2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（解析版）

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第02 讲 等比数列及前 n项和
【学习目标】
1．理解等比数列的概念 ，掌握等比数列的通项公式及公式的推导
2．加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概
念，掌握等比数列的性质
3. 掌握等比数列前 n项和的计算及应用
【基础知识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 ( 不为零 ) ，那么这个数列叫作等
比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an＝a1· q n
－
1
(a1≠0，q≠0)．
3．等比中项
若G 2
＝ a · b _( ab ≠ 0) ，那么 G为a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·q n
－
m
，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且 k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N＋)，则 ak· a l＝ a m· a n.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， ，{ }，{an·bn}， 仍是等比数列．
5．等比数列的前 n项和公式
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n项和为 Sn，
Sn＝
6．等比数列前 n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前 n项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__q n
__.
难点正本　疑点清源
1．等比数列的特征
从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比 q也是非零常数．
2．等比数列中的函数观点
利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调
性时，要特别注意首项和公比的大小．
3．两个防范
(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0.
1
(2)在运用等比数列的前 n项和公式时，必须注意对 q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略 q＝1这一特殊
情形导致解题失误．
【考点剖析】
考点一：等比数列基本量的运算
【题组训练】
1．已知等比数列{an}满足 a1＝ ，a3a5＝4(a4－1)，则 a2等于(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．1
C. D.
【答案】C
【解析】由{an}为等比数列，得 a3a5＝ ，
又a3a5＝4(a4－1)，所以 ＝4(a4－1)，解得 a4＝2.
设等比数列{an}的公比为 q，则由 a4＝a1q3，得 2＝q3，解得 q＝2，所以 a2＝a1q＝.
2．(2021·湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和 S3＝21，则公比 q的值是(　　)
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
【答案】C
【解析】当 q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；
当q≠1 时，由 得 q＝－ .综上，q的值是 1或－ ，故选 C.
3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前 7项的和 S7＝381，公比 q＝2，依题意，
得S7＝ ＝381，解得 a1＝3.
2
4．已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a1＋a3＝ ，a2＋a4＝ ，则＝________.
【答案】2n－1
【解析】设等比数列{an}的公比为 q，
∵ ∴
由①除以②可得 ＝2，
解得 q＝ ，代入①得 a1＝2，
∴an＝2× n－1＝ ，
Sn＝ ＝4，
∴ ＝2n－1.
【名师微点】
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可
以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前 n项和公式涉及对公比 q的分类讨论，当 q＝1时，{an}的前 n项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，
{an}的前 n项和 Sn＝.
考点二：等比数列的判定与证明
例 1．[典例精析]
已知数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若 bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【证明】因为 an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以 ＝
因为 S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以 a2＝5.
所以 b1＝a2－2a1＝3.
3
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