6.4.1平面几何中的向量方法（教案）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册

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第六章平面向量及其应用

6.4.1 平面几何中的向量方法

一、教学目标

1.会用向量方法解决简单的几何问题；

2.体会向量在解决几何问题中的作用；

3.通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模、

数据分析等数学素养。

二、教学重难点

1.用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；

2.能够将几何问题转化为平面向量问题。

三、教学过程：

1、复习回顾

（1）平面两个向量的数量积：；

（2）向量平行的判定:

；

（3）向量平行与垂直的判定: ；

（4）平面内两点间的距离公式：（其中，

）

（5）求模：；；

2.探索新知

例 1.如图所示，在正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别

为 E，F，连接 DP，EF，求证：DP⊥EF.

证明　法一：设正方形 ABCD 的边长为 1，AE＝a(0<a<1)，

则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，

∴DP·EF＝(DA＋AP)·(EP＋PF)＝DA·EP＋DA·PF＋AP·EP＋AP·PF＝1×a×cos 180°＋

1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0．

∴DP⊥EF，即 DP⊥EF.

法二：

如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 1，建立如图所示的平面直角坐标系，

设P(x，x)，则 D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以DP＝(x，x－1)，EF＝(1－x，x)，

由于DP·EF＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以DP⊥EF，即 DP⊥EF.

思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

“三步曲”：

(1)构建平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化

为平面向量问题；

(2)通过平面向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、模等问题；

(3)将平面向量运算运算结果“翻译”成平面几何关系.

思考：你能总结向量的线性运算法的四个步骤吗？

生答：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应

关系；④把几何问题向量化．

思考：你能总结向量的坐标运算法的四个步骤吗？

生答：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找

相应关系；④把几何问题向量化．

变式训练:如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F分别是 AB，BC 的中点，

求证：AF⊥DE.

解：（基底法）设AD＝a，AB＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，

又DE＝DA＋AE＝－a＋，AF＝AB＋BF＝b＋，

所以AF·DE＝(b＋)·(－a＋)＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0．

故AF⊥DE，即 AF⊥DE.

（坐标法）

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