5.5.4 简单的三角恒等变换 学生版

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简单的三角恒等变换
要点一：升（降）幂缩（扩）角公式
升幂公式： ，
降幂公式： ，
要点诠释：
利用二倍角公式的等价变形： ，
要点二：辅助角公式
1．形如 的三角函数式的变形：
=
令 ，则
= =
（其中 角所在象限由 的符号确定， 角的值由 确定，
或由 和 共同确定．）
要点三：半角公式(以下公式只要求会推导，不要求记忆)
1
， ，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
；
以上两个公式称作半角正切的有理式表示．
要点四：积化和差公式
要点诠释：
规律 1：公式右边中括号前的系数都有 ．
规律 2：中括号中前后两项的角分别为 和 ．
规律 3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．
要点五：和差化积公式
2
证明过程：
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，
　　将以上两式的左右两边分别相加，得 　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β
，
　　设 α+β=θ，α-β=φ ，那么 α=(θ+φ)/2, β=
（
θ-φ
）
/2
　　把 α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ
）
/2]
cos(α-β)-cos(α+β)
　　=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)] =2sinαsinβ
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
类型一：利用公式对三角函数式进行化简
例1．化简： （ 是第一象限角）．
3
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