3.3.1-3.3.2抛物线的方程与性质 教师版

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抛物线的方程与性质
【要点梳理】
要点一、抛物线的定义
定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，
定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线．
要点二、抛物线的标准方程
标准方程的推导
如图，以过 F且垂直于 l 的直线为 x轴,垂足为 K.以F,K 的中点 O为坐标原点建立直角坐标系 xoy.
设|KF|=p(p＞0)，那么焦点 F的坐标为 ，准线 l的方程为 .
设点 M（x,y）是抛物线上任意一点，点 M到l的距离为 d.由抛物线的定义，抛物线就是集合
}|||{ dMFMP
.
.|
2
|)
2
(
|,
2
|,)
2
(||
22
22
p
xy
p
x
p
xdy
p
xMF
将上式两边平方并化简，得 ① 方程①叫抛物线的标准方程，
它表示的抛物线的焦点在 x轴的正半轴上，坐标是 它的准线方程是 .
抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
， ， ，
要点三、抛物线的简单几何性质：
1
抛物线标准方程 的几何性质
范围： ， ，
抛物线 y2=2px（p＞0）在 y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点 M的坐标（x，y）的
横坐标满足不等式 x≥0；当 x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
对称性：关于 x轴对称
抛物线 y2=2px（p＞0）关于 x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴
顶点：坐标原点
抛物线 y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）
离心率： .
抛物线 y2=2px（p＞0）上的点 M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。
用e 表示，e=1。
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
因为通过抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点而垂直于 x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 ，
，所以抛物线的通径长为 2p；这就是抛物线标准方程中 2p 的一种几何意义。
另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P刻画了抛物线开口的大小，P值越大，开口越宽；P
值越小，开口越窄．
抛物线标准方程几何性质的对比
2
图形
标准方程 y2=2px（p＞0）
y2=－2px （p＞
0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py （p＞
0）
顶点 O（0，0）
范围 x≥0， x≤0，y≥0，y≤0，
对称轴 x轴y轴
焦点
离心率 e=1
准线方程
焦半径
【典型例题】
类型一：抛物线的定义
例1.已知抛物线的焦点为（3，3），准线为 x轴，求抛物线的方程。
【解析】设 M（x，y）为抛物线上的任意一点，
则由抛物线的定义，得
两边平方，整理得
3
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