1.1.1 空间向量及其线性运算 教师版人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义

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空间向量及其线性运算
【要点梳理】
要点一、空间向量的相关概念
1.空间向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作： 或
a
。
2.空间向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作
| |AB

或
| |a
3．空间向量的有关概念：
零向量：长度为 0或者说起点和终点重合的向量，记为
0
。规定：
0
与任意向量平行。
单位向量：长度为 1的空间向量，即
| | 1a
.
相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．
a
平行于
b
记作
ba
//
．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点诠释：
①当我们说向量
a
、
b
共线（或
a
//
b
）时，表示
a
、
b
的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可
能是平行直线．
1
②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意
两个向量是共面的．
要点二、空间向量的加减法
1．加减法定义
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
2．运算律
交换律：
a b b a  
   
结合律：
空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
1 2 2 3 3 4 1 1n n n
A A A A A A A A A A
  
                                         
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：
1 2 2 3 3 4 1 1
0
n n n
A A A A A A A A A A
    
                                                                     
；
要点三、空间向量的数乘运算
1. 定义：实数
与空间向量 a的乘积
a
仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当
＞0时，
a与a方向相同；
2
当
＞0时，
a与a方向相反；
当
=0 时，
a=0．
a的长度是 a的长度的|
|倍．如右图所示．
2．运算律．
分配律：
(a+b)=
a+
b；
结合律：
(μa)= (
μ)a．
要点四、共线定理
1．共线向量的定义．
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共
线向量或平行向量，记作 a b∥．注意： 0与任意向量是共线向量．
2．共线向量定理．
空间任意两个向量
a
、
b
（
b
≠
0
），
a
//
b
的充要条件是存在实数
，使
ba
．
要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
1 a b∥（b≠0）
存在唯一实数
，使得 a=
b；
2 存在唯一实数
，使得 a=
b（b≠0），则 a b∥．
注意: b≠0不可丢掉，否则实数
就不唯一．
3. 共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
要点五、共面定理
3
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