专练13（几何压轴大题）（30）-2021中考数学考点必杀500题（广东专用）（解析版）

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2021 中考考点必杀 500 题

专练 13（几何压轴大题）（30 道）

1．（2021·广东深圳市·九年级二模）如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝5，M为AB 的中点，点 P是BC 边

上一点（不与 B，C重合），连接 MP，PF⊥MP 交CD 于点 F．点 B，B'关于 MP 对称，点 C，C′关于 PF 对称，

连接 B'C．

（1）求证：△PFC∽△MPB．

（2）①当 BP＝2时，B'C'＝；

②求 B'C的最小值．

（3）是否存在点 P，使点 B'，C′重合？若存在，请求出此时 M，F的距离；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）① 1；② ；（3）存在，

【分析】

（1）利用两个角对应相等的两个三角形相似判定即可；

（2）①由轴对称的性质可得 PB'与PC'共线，通过线段和差即可求解；

②由点 B'在以点 M为圆心，2为半径的圆上，则当点 B'在线段 CM 上时，CB'有最小值，由勾股定理可求解；

（3）设 B'，C'重合点为 N，连接 PN，MN，NF，通过证明△BMP∽△CPF，可得，即可求解．

【详解】

证明：（1）∵PF⊥MP，

∴∠FPC+∠MPB＝90°，

∵∠PMB+∠MPB＝90°，

∴∠FPC＝∠PMB，

∵∠FCP＝∠B，

∴△PFC∽△MPB；

（2）①如图 1，连接 B'P，C'P，

∵BP＝2，

∴PC＝3，

∵点 B，B'关于 MP 对称，点 C，C′关于 PF 对称，

∴BP＝B'P＝2，CP＝C'P＝3，∠BPM＝∠B'PM，∠CPF＝∠C'PF，

∵∠BPC＝180°，

∴∠MPB'+∠FPC'＝90°，

又∵∠MPB'+∠FPB'＝90°，

∴∠FPC'＝∠FPB'

∴PB'与PC'共线，

∴B'C'＝1，

故答案为 1；

②如图 2，连接 MB'，CM，

∵M为AB 的中点，

∴MB＝MB'＝2，

∴MB'+ CB'≥CM，

∴当点 B'在线段 CM 上时，CB'有最小值，

∵CM＝，

∴CB'的最小值＝ ﹣2；

（3）存在，理由如下：

如图 4，设 B'，C'重合点为 N，连接 PN，MN，NF，

∵点 B，N关于 MP 对称，点 C，N关于 PF 对称，

∴BP＝PN，PC＝PN，MN＝BM＝2，FN＝CF，∠B＝∠MNP＝90°，∠C＝∠PNF＝90°，

∴点 M，点 N，点 F三点共线，PB＝PC＝PN＝，

∵∠MPF＝90°，

∴∠MPB+∠FPC＝90°=∠MPB+∠BMP，

∴∠BMP＝∠FPC，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△BMP∽△CPF，

∴ ，

∴CF＝，

∴MF＝MN+NF＝2+ ＝．

【点睛】

本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，

灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

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