中考数学专题讲练 全等三角形辅助线 (PDF解析版)

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1
初中数学
全等三角形辅助线
1. 一．中点类辅助线作法
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是
在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（
AD
是
ABC
底
边的中线)．
图
3
图
2
图
1
F
E
D
N
D
E
A
B
C
A
B
C
D
CB
A
二．角平分线类辅助线作法
有下列三种作辅助线的方式：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；
3．
OA OB
，这种对称的图形应用得也较为普遍．
A
B
O
P
P
O
B
A
A
B
O
P
三．截长补短类辅助线作法
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思
想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较
短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已
知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段
的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．
2
初中数学
四．
K
型图（一线三等角）
K
型图是最重要的几何模型之一，在证明三角形全等、相似，求点的坐标时有着重要的应用．
（1）如图，已知
AC CF
，
EF CF
，
AB BE
，
AB BE
；则
ACB BFE
 
≌，
AC BF
，
BC EF
．
F
E
C
B
A
（2）
K
型图变化：将
ABC
向右移动会出现下面两种情况：
①如图，已知，
AC CF
，
EF CF
，
AB BE
，
AC CF
，则
ACB BFE
 
≌，
AB BE
；
F
E
B
G
C
A
②如图，已知，
AC CF
，
EF CF
，
AG CE
，
AC CE
，则
ACB BFE
 
≌，
AG CF
．
F
E
G
C
A
一．考点：全等三角形辅助线的作法．
二．重难点：中点类、角平分线类、截长补短类和 型图（一线三等角）辅助线作法．
三．易错点：
3
初中数学
1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，
关键是如何分析题目；
2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”
这种辅助线就不一定能作出来．
题模一：中点类全等问题
例1.1.1 如图，已知在
ABC
中，
AD
是
BC
边上的中线，
E
是
AD
上一点，延长
BE
交
AC
于
F
，
AF EF
，求证：
AC BE
．
F
E
D C
B
A
【答案】 见解析
【解析】 延长
AD
到
G
，使
DG AD
，连结
BG
∵
BD CD
，
BDG CDA
 
，
AD GD
∴
ADC GDB
 
≌，∴
AC GB
．
G EAF
 
又∵
AF EF
，∴
EAF AEF
 
∴
G BED
 
，
∴
BE BG
，∴
BE AC
．
G
F
E
DC
B
A
例1.1.2 在Rt
ABC
中，
90
BAC
 
，点
D
为
BC
的中点，点
E
、
F
分别为
AB
、
AC
上的点，
且
ED FD
．以线段
BE
、
EF
、
FC
为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、
直角三角形或钝角三角形？
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