专题6.5平行线的性质与判定大题专练（重难点培优）-八年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【北师大版】

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2020-2021 学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题 6.5 平行线的性质与判定大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共 24 题，解答 24 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信
息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共 24 小题）
1．（2020 秋•锦江区校级期中）如图，已知平行四边形 ABCD，过 A作AM⊥BC 于M，交 BD 于E，过 C
作CN⊥AD 于N，交 BD 于F，连接 AF、CE．
（1）求证：BM＝DN；
（2）求证：四边形 AECF 为平行四边形．
【分析】（1）先利用平行四边形的性质得 AD＝BC，AD∥BC，则可证明四边形 AMCN 为平行四边形得
到CM＝AN，从而得到 BM＝DN；
（2）证明△BME≌△DBF 得 到 EM ＝DF ，再利用四边形 AMCN 为平行四边形得到 AM ＝
CN，AM∥CN，则 AE＝CF，从而可判定四边形 AECF 为平行四边形．
【解析】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AM⊥BC，CN⊥AD，
∴AM∥CN，
∴四边形 AMCN 为平行四边形，
∴CM＝AN，
∴BC﹣CM＝AD﹣AN，
即BM＝DN；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵AM⊥BC，CN⊥AD，
∴∠EMB＝∠FND＝90°，
1
在△BME 和△DNF 中，
{
∠EBM =∠FDN
BM =DN
∠EMB=∠FND
，
∴△BME≌△DBF（ASA），
∴EM＝DF，
∵四边形 AMCN 为平行四边形，
∴AM＝CN，AM∥CN，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形 AECF 为平行四边形．
2．（2019 春•赫山区期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BD 于E，CF⊥BD 于F，连接 AF，CE．
求证：四边形 AECF 是平行四边形．
【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 AB＝CD，AB∥CD，又由 AE⊥BD，CF⊥BD，即可得
AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，然后利用 AAS 证得△AEB≌△CFD，即可得 AE＝CF，即可证得四边形
AECF 是平行四边形．
【解析】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△AEB 和△CFD 中，
¿
，
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形 AECF 是平行四边形．
3．（2020 秋•招远市期末）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，∠BAD 的角平分线 AE 交CD 于点 F，交
BC 的延长线于点 E．
（1）求证：BE＝CD；
2
（2）若 BF 恰好平分∠ABE，连接 AC、DE，求证：四边形 ACED 是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 AD∥BC，AB ＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝
∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出 AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质得出 DF＝
CF，再根据平行四边形的判定得出即可．
【解析】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE 平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF 平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF 和△ECF 中，
{
∠DAE=∠AEB
AF =EF
∠AFD=∠EFC
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形 ACED 是平行四边形．
4．（2020•岳阳）如图，点 E，F在▱ABCD 的边 BC，AD 上，BE
¿1
3
BC，FD
¿1
3
AD，连接 BF，DE．
求证：四边形 BEDF 是平行四边形．
3
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