专题2.13 交点零点有没有，极最符号异与否-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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【题型综述】

导数研究函数图象交点及零点问题

利用导数来探讨函数

y=f(x)

的图象与函数

y=g(x)

的图象的交点问题，有以下几个步

骤：

①构造函数

h(x)=f(x)−g(x)

；

②求导

h '(x)

；

③研究函数

h(x)

的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；

④画出函数

h(x)

的草图，观察与

轴的交点情况，列不等式；

⑤解不等式得解.

探讨函数

y=f(x)

的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存

在性定理求解.

【典例指引】

例1．已知函数，．

（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求 a的值；

（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没

有，请说明理由．

例2．已知函数 f(x )=lnx，h(x)=ax(a 为实数)

（1）函数 f(x)的图象与 h(x)的图象没有公共点，求实数 a的取值范围；

（2）是否存在实数 m，使得对任意的都有函数的图象在函数

图象的下方？若存在，请求出整数 m的最大值；若不存在，说明理由（

）

例3．已知二次函数 f(x)的最小值为－4，且关于 x的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数 f(x)的解析式；

(2)求函数的零点个数．

例4．已知函数，．

（Ⅰ）求证：当时，；

（Ⅱ）若函数在（1，+∞）上有唯一零点，求实数的取值范围．

【新题展示】

1．【2019 黑龙江大庆二模】已知函数 .

（Ⅰ）当时，点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线

距离的最小值；

（Ⅱ）讨论函数零点的个数，并说明理由.

2．【2019 北京房山区上学期期末】已知函数

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；[来源:学_科_网Z_X_X_K]

（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.

3．【2019 浙江名校新高考研究联盟联考】设，已知函数，．

Ⅰ 若恒成立，求的范围

Ⅱ 证明：存在实数，使得有唯一零点．

4．【2019 甘肃、青海、宁夏上学期期末】已知函数 .

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；[来源:Zxxk.Com]

（2）当时，讨论函数的零点个数.

5．【2019 安徽芜湖上学期期末】已知函数， .

（1）求的极值点；

（2）若函数在区间内无零点，求的取值范围.

6．【2019 山东济南上学期期末】已知函数 .

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【同步训练】

1．已知函数．

（Ⅰ）若在处取极值，求在点处的切线方程；

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