专题2.13 交点零点有没有，极最符号异与否-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-18 18 4 2.79MB 41 页 3知币
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【 题型综述 】
导数研究函数图象交点及零点问题
利用导数来探讨函数
y=f(x)
的图象与函数
y=g(x)
的图象的交点问题，有以下几个步
骤：
①构造函数
h(x)=f(x)−g(x)
；
②求导
h '(x)
；
③研究函数
h(x)
的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；
④画出函数
h(x)
的草图，观察与
x
轴的交点情况，列不等 式；
⑤解不等式得解.
探讨函数
y=f(x)
的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存
在性定理求解.
【典例指引】
例1．已知函数 ， ．
（I）若曲线 在点（1， ）处的切线与直线 垂直，求 a的值；
（II）当 时，试问曲线 与直线 是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没
有，请说明理由．
【思路引导】
（1）根据导数的几何意义得到 ，即 ；（2）构造函数 ，研
究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到 在（0，1） （ ）恒负， ，故只
有一个公共点．
当 时， ， 在（ ）单调递减；
当 时， ， 在（0，1）单调递增．学科*网
又 ，所以 在（0，1） （ ）恒负
因此，曲线 与直线 仅有一个公共点，公共点为 （1，-1）．
例2．已知函数 f(x)=lnx，h(x)=ax(a 为实数)
（1）函数 f(x)的图象与 h(x)的图象没有公共点，求实数 a的取值范围；
（2） 是 否 存 在 实 数 m， 使 得 对 任 意 的 都 有 函 数 的 图 象 在 函 数
图 象 的 下 方 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 整 数 m的 最 大 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 （
）
【思路引导】
（Ⅰ）函数 与 无公 共点转化为方程 在 无解，令 ，得出 是唯
一的极大值点，进而得到 ，即可求解实数 取值范围；
（Ⅱ）由不等式 对 恒成立，即 对 恒成立， 令
，则 ，再令 ，转化为利用导数得到函数的单调性
和极值，即可得出结 论.
当且仅当 故实数 的取值范围为
∴存在 ，使得 ，即 ，则 ，………9分
∴当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
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