专题2.13 《一元一次不等式和一元一次不等式组》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 2.13 《一元一次不等式和一元一次不等式组》全章复习与巩
固（知识讲解）
【学习目标】
1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；
2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；
3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；
4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；
5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是
学习数学的一种重要途径.
【要点梳理】
要点一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
特别说明：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如 ， 等；另一种
是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c
不等式的基本性质 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc(或 )．
要点二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高
次数是 1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
特别说明：ax+b＞0 或 ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.
特别说明：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是
定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大
于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
特别说明：
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超
过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式
解决问题的关键.
要点三、一元一次不等式组
　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
特别说明：
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.ð
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的
公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.ð
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等
式组的解集及实际意义确定问题的答案．
【典型例题】
类型一、不等式
1．用适当的不等式表示下列不等关系：
（1）x的 与 x的2倍的和是非负数；
（2）一枚炮弹的杀伤力半径不小于 300 米；
（3）三件上衣和四条裤子的总价钱不高于 368 元；
（4）明天下雨的可能性不小于 70%；
（5）小明的体重不比小亮的轻；
解：（1）x+2x≥0；
（2）设炮弹的杀伤半径为 r，则应有 r≥300；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 3a+4b≤368；
（4）用 P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；
（5）设小明的体重为 a千克，小亮的体重为 b千克，则应有 a≥b．
【点拨】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做
不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
举一反三：
【变式】根据下列数量关系列不等式：
（1）a与1的和是正数 ；
（2）a的 和 b的 的差是负数 ；
（3）a与b的两数和的平方不大于 9 ；
（4）a的 倍与 b的和的平方是非负数 ．
【答案】（1）a+1＞0；（2）a- b＜0；（3）（a+b）2≤9；（4）（ a+b）2≥0．
【分析】
（1）首先表示 a与1的和为 a+1，再表示是正数可得a+1＞0；
（2）首先表示 a的 和 b的 的差为a- b，再表示“是负数”为 a- b＜0；
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