专题2.11 已知不等恒成立，分离参数定最值-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

3.0 envi 2025-05-18 17 4 664KB 12 页 3知币
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【 题型综述 】
不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；
③缩小范围＋ 证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函
数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可
能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值
的优点是函数结构简单，是不 等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一
般需要分类讨论，解题过程较长， 解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简
单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函
数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面 解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像
的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实
际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。
【典例指引】
例 1 己知函数 .
（1）若函数 在 处取得极值，且 ，求 ；
（2）若 ，且函数 在 上单调递増，求 的取值范围.
解：（1） ，由题意可得： ，又 ，所以 .经检验适合题意.
(2) ，
在 上单调递增 在 上恒成立 在 上恒成立
法一（分离参数＋函数最值）：则 在 上恒成立，令 ，
下面求 在 上的最大值. ，令 ，则
.显然，当 时， ，即 单调递减，从而 .
所以，当 时， ，即 单调递减，从而 .因此， .
法二（直接化为最值＋分类讨论）：令 ， .令 ，
①当 时， ，所以 ，即 在 上单调递减.而 ，与
在 上恒成立相矛盾.
②当 时，则开口向上
(方案一）： Ⅰ.若 ，即 时， ,即 ，所以 在 上递
增，所以 ，即 .
Ⅱ.若 ，即 时，此时 ，不合题意.
(方案二）：Ⅰ.若对称轴 ，即 时，则 在 上为增函数，[来源:Zxxk.Com]
，即 ，所以 在 上递增，所以 ，
即 .
Ⅱ.若对称轴 ，即 时，则 ，不合题意.
法三（缩小范围＋证明不等式）：令 ，则 .
另一方面，当 时，则有 ，令 ，开口向上，对称轴
，故 在 上为增函数，所以 在 上为
增函数，则 ，故 适合题意.
例 2. (2016 全国新课标Ⅱ文 20)己知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）若当 时， ，求 的取值范围.
简析：（Ⅰ） 的定义域为 .当 时， ， ，
，所以曲线 在 处的切线 方程为 .
（Ⅱ）法一（参考答案，系数常数化）： 在 恒成立
在 恒成立，令 ，
①当 时，则 )时， ,故 ， 在 上是增函
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