专题2.11 已知不等恒成立，分离参数定最值-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

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【题型综述】

不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；

③ 缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函

数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可

能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值

的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一

般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简

单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函

数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像

的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实

际是一种猜测。俗话说，形缺数时难入微。

【典例指引】

例 1 己知函数 .

（1）若函数在处取得极值，且，求；

（2）若，且函数在上单调递増，求的取值范围.

法二（直接化为最值＋分类讨论）：令， .令，

①当时，，所以，即在上单调递减.而，与

在上恒成立相矛盾.

②当时，则开口向上

(方案一）：Ⅰ.若，即时， ,即，所以在上递

增，所以，即 .

Ⅱ.若，即时，此时，不合题意.[来源:Zxxk.Com]

法三（缩小范围＋证明不等式）：令，则 .

另一方面，当时，则有，令，开口向上，对称轴

，故在上为增函数，所以在上为

增函数，则，故适合题意.学科&网

例 2. (2016 全国新课标Ⅱ文 20)己知函数 .

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.

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