专题2.10二次函数的综合问题-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【北师大版】

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2020-2021 学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题 2.10 二次函数的综合问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 24 题，其中选择 10 道、填空 8 道、解答 6 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫
米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020•平顶山模拟）下列关于二次函数 y＝ax22﹣ax+1（a＞1）的图象与 x轴交点的判断，正确的是（
）
A．只有一个交点，且它位于 y轴的右侧
B．只有一个交点，且它位于 y轴的左侧
C．有两个交点，且它们位于 y轴的两侧
D．有两个交点，且它们位于 y轴的右侧
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以
解答本题．
【解析】∵二次函数 y＝ax22﹣ax+1＝a（x1﹣）2﹣a+1（a＞1），
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线 x＝1，
当y＝0时，△＝（﹣2a）24﹣a×1＝4a24﹣a＝（2a1﹣）21﹣＞0，即该函数与 x轴有两个交点，
当x＝0时，y＝1＞0，
∴该函数与 x轴两个交点，且它们位于 y轴的右侧，故选项 D正确，选项 A、B、C错误；
故选：D．
2．（2020•旌阳区模拟）已知 y关于 x的函数表达式是 y＝ax24﹣x﹣a，下列结论不正确的是（　　）
A．若 a＝﹣1，函数的最大值是 5
B．若 a＝1，当 x≥2 时，y随x的增大而增大
C．无论 a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣4）
D．无论 a为何值时，函数图象与 x轴都有两个交点
【分析】根据二次函数的性质和题目中的函数解析式可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解
答本题．
【解析】∵y＝ax24﹣x﹣a，
∴当 a＝﹣1时，y＝﹣x24﹣x+1＝﹣（x2﹣）2+5，则当 x＝2时，函数取得最大值，此时 y＝5，故选项
A不符合题意；
当a＝﹣1时，该函数图象开口向下，对称轴是直线 x
¿−−4
2a=¿
2，则当 x≥2 时，y随x的增大而增大，
故选项 B不符合题意；
由y＝ax24﹣x﹣a＝a（x21﹣）﹣4x知，x21﹣＝0时，x＝±1，则 y＝±4，即无论 a为何值时，函数图象
一定经过点（1，±4），故选项 C不符合题意；
当a＝0，函数为 y＝﹣4x，图象与 x轴都只有 1个交点，故选项 D符合题意；
故选：D．
3．（2020•成都模拟）已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x＝﹣2，与 x轴的一个交点坐标为
（﹣4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①当x＜0时，y随x增大而增大；
②抛物线一定过原点；
③方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 x＝0或x＝﹣4；
④当﹣4＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；
⑤a﹣b+c＜0．
其中结论错误的个数有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据函数图象变化趋势进行解答；
②根据对称轴，求出抛物线与 x轴的另一个交点，便可判断；
③根据抛物线与 x轴的交点横坐标进行判断；
④根据﹣4＜x＜0时，抛物线在 x轴上方，进行判断；
⑤根据当 x＝﹣1时，y的函数值的位置进行判断．
【解析】①由函数图象可知，当﹣2＜x＜0时，y随x增大而减小，
则此小题结论错误；
②∵对称轴为直线 x＝﹣2，与 x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），
∴另个交点为（0，0），即抛物线一定过原点，
则此小题结论正确；
③∵抛物线与 x轴交于（﹣4，0）和（0，0），
∴方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 x＝0或x＝﹣4，
则此小题结论正确；
④由函数图象可知，当﹣4＜x＜0时，抛物线在 x轴上方，即 ax2+bx+c＞0，
则此小题结论正确；
⑤则函数图象可知，当 x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
则此小题结论错误；
故选：B．
4．（2020•海门市二模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x
（单位：度） （0≤x≤90）近似满足函数关系 y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同
壶水的旋钮角度 x与燃气量 y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节
省燃气的旋钮角度约为（　　）
A．37.5° B．40° C．52.5° D．55°
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称 x的取值范围，从而可以解答本题．
【解析】由图象可得，
该函数的对称轴 x
＞25+50
2
且x＜50，
∴37.5＜x＜50，
∴此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为 40°，
故选：B．
5．（2020•沈河区一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x
（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系 y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开
同一壶水的旋钮角度 x与燃气量 y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶
水 最 节 省 燃 气 的 旋 钮 角 度 可 能 为 （ 　 　 ）
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