综合训练（8）大题训练-2022届高三数学二轮复习

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2022 届高三数学二轮复习 大题训练
（ 综 合 训 练（8） ）
1．如图， 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）已知 ，若 为 外接圆劣弧 上一点，
求 的最大值．
2．为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区 10 万
人中随机抽取了 200 人，对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，按 ， ， ， ，
， ， ， ， ， 分组，得到该项指标值频率分布直方图如图所示．同时发现
这200 人中有 120 人在体内产生了抗体，其中该项指标值不小于 60 的有 80 人．
（1）填写下面的 列联表，判断是否有 的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不
小于 60 有关”．
指标值小于 60 指标值不小于 60 合计
有抗体
没有抗体
合计
（2）以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人
群中随机抽取 4人，求产生抗体的人数 的分布列及期望．
附： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
3．已知单调递增的等比数列 ，满足 ，且 是 ， 的等差中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ， ，对任意正整数 ，总有 成立，试求
实数 的取值范围．
4．如图，三棱柱 的底面是等边三角形，平面 平面 ， ，
， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）试问线段 是否存在点 ，使得二面角
的平面角的余弦值为 ，若存在，请计算 的值；若不存在，请说明理由．
5．已知 为坐标原点，点 ， ，过动点 作直线 的垂线，垂足为点 ， ，
记 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若 ， ， ， 均在 上，直线 ， 的交点为 ， ， ，求四
边形 面积的最小值．
6．已知函数 ， ， ．
（1）若 存在唯一的零点，求 的取值范围；
（2）若 有两个不同的解 ， ，求证： ．
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