专题一 数列的概念-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(原卷版)

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专题　数列的概念
基本知识点
一、数列的分类
类别 含义
按 项 的
个数　
有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按 项 的
变 化 趋
势
　　
递增数列 从第 2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第 2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项相等的数列
摆动数列
从第 2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数
列
二、基本数列的通项公式
(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是 an＝(－1)n.
(2)数列 1,2,3,4，…的通项公式是 an＝n.
(3)数列 1,3,5,7，…的通项公式是 an＝2n－1.
(4)数列 2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n.
(5)数列 1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2n－1.
(6)数列 1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2.
(7)数列 1，，，，…的通项公式是 an＝.
例题分析
一、数列的概念及分类
例1　已知下列数列：
①2 011，2 012，2 013，2 014，2 015，2 016；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1，0，－1，…，sin，…；
⑤3，9，27，81，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列
是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．
(对 应 训 练 一 )给 出 以 下 数 列 ： ① 1， － 1,1 ， － 1， … ； ② 2,4,6,8 ，…，1 000 ；
③8,8,8,8，…；④ 0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为______；无穷数列为_____
_；递增数列为______；递减数列为_____；摆动数列为_____；常数列为______．(填序号)
(对应训练二)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A．1，，，，…　　 　 B．sin ，sin ，sin ，…
C．－1，－，－，－，… D．1，，，…，
(对应训练三)给出下列数列：① 2010～2017 年某市普通高中生人数(单位：万人)构成
数列 82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③
－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是_______，递增数列是________，常数列是__
______，摆动数列是________．
二、由数列的前几项求通项公式
例2　写出数列的一个通项公式，使它的前 4项是下列各数：
(1)－1，，－，；(2)，3，，；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；(4)3，5，3，5.
(对应训练一)写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…； (4)1,11,111,1 111，….
(对应训练二) (1)数列，，，，…的一个通项公式是________．
(2)根据以下数列的前 4项写出数列的一个通项公式．
①，，，，…；②－3,7，－15,31，…；③ 2,6,2,6，….
三、判定数列中项的问题
例3　已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的 2倍．
(1)求这个数列的第 4项与第 25 项；
(2)253 和153 是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
(对应训练)已知数列{an}的通项公式为 an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第 4项和第 6项；
(2)－49 和68 是该数列的项吗？若是，应是第几项？若不是，请说明理由．
四、根据图形规律求通项
例4　图中由火柴棒拼成的一列图形中，第 n个图形由 n个正方形组成：
通过观察可以发现：第 n个图形中，火柴棒的根数为(　　)
A．3n－1 B．3n C．3n＋1 D．3(n＋1)
(对应训练)如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称 ICME7)的会徽图案，会徽的主体
图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，
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