专题一 数列的概念-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题　数列的概念
基本知识点
一、数列的分类
类别 含义
按 项 的
个数　
有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按 项 的
变 化 趋
势
　　
递增数列 从第 2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第 2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项相等的数列
摆动数列
从第 2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数
列
二、基本数列的通项公式
(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是 an＝(－1)n.
(2)数列 1,2,3,4，…的通项公式是 an＝n.
(3)数列 1,3,5,7，…的通项公式是 an＝2n－1.
(4)数列 2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n.
(5)数列 1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2n－1.
(6)数列 1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2.
(7)数列 1，，，，…的通项公式是 an＝.
例题分析
一、数列的概念及分类
例1　已知下列数列：
①2 011，2 012，2 013，2 014，2 015，2 016；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1，0，－1，…，sin，…；
⑤3，9，27，81，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列
是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．
解析 ①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④
是摆动数列，是无穷数列，也是周期为 4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥
为有穷数列，也是常数列．
答案 ①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④
归纳总结：1．有穷数列与无穷数列的判断：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，
只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列 ．
2．数列单调性的判断：判断数列的单调性，则需要从第 2项起，观察每一项与它的前一项
的大小关系，若满足 an<an＋1，则是递增数列；若满足 an>an＋1，则是递减数列；若满足 an＝
an＋1，则是常数列；若 an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．
(对 应 训 练 一 )给 出 以 下 数 列 ： ① 1， － 1,1 ， － 1， … ； ② 2,4,6,8 ，…，1 000 ；
③8,8,8,8，…；④ 0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为______；无穷数列为_____
_；递增数列为______；递减数列为_____；摆动数列为_____；常数列为______．(填序号)
解析 有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；
常数列为③.
答案 ②④　①③　②　④　①　③
(对应训练二)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A．1，，，，…　　 　 B．sin ，sin ，sin ，…
C．－1，－，－，－，… D．1，，，…，
解析　D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选 C.
答案 C
(对应训练三)给出下列数列：① 2010～2017 年某市普通高中生人数(单位：万人)构成
数列 82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③
－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是_______，递增数列是________，常数列是__
______，摆动数列是________．
解析 ①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆
动数列．
答案 ①　②③　①　②　③　
二、由数列的前几项求通项公式
例2　写出数列的一个通项公式，使它的前 4项是下列各数：
(1)－1，，－，；(2)，3，，；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；(4)3，5，3，5.
解析　(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，
正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其中一个通项公式为 an＝(－1)n·.
(2)数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数
为常数 3，后一个因数为 2n－1，故原数列的一个通项公式为 an＝＝.
(3)原数列可变形为，，，，…，故数列的一个通项公式为 an＝1－.
(4)数列给出前 4项，其中奇数项为 3，偶数项为 5，所以通项公式的一种表示方法为 an
＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一
个通项公式又可以写为 an＝4＋(－1)n.
答案 (1) (－1)n· (2) (3) 1－ (4) 4＋(－1)n
归纳总结：由数列的前几项求通项公式的解题策略
(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若n和n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．
(3)熟悉一些常见数列的通项公式．
(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结
构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”
“商”后再进行归纳．
(对应训练一)写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…； (4)1,11,111,1 111，….
解析 (1)观察数列中的数，可以看到 0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－
1，…，所以它的一个通项公式是 an＝n2－1.
(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶
数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n＋1 (2n－1)．
(3)此数列的整数部分 1,2,3,4，…恰好是序号 n，分数部分与序号 n的关系为，故所求
的数列的一个通项公式为 an＝n＋＝.
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