专题一 基本初等函数的导数-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题一 基本初等函数的导数
基本公式
一、几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2f′(x)＝2x
f(x)＝f′(x)＝－
f(x)＝f′(x)＝
二、基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
y＝c y′＝0
y＝xn(n∈N＋)y′＝nxn－1，n为正整数
y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q)y′＝μxμ－1，μ为有理数
y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝axln a
y＝exy′＝ex
y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0) y′＝
y＝ln x y′＝
y＝sin x y′＝cos_x
y＝cos x y′＝－sin_x
例题分析
一、求简单函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝；(4)y＝log5x；(5)y＝cos；
(6)y＝sin ；(7)y＝ln x；(8)y＝ex. (9)y＝3x；(10)y＝log5x
解析 (1)y′＝－3x－4.
(2)y′＝3xln 3.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－
(4)y′＝.
(5)y＝sin x，y′＝cos x.
(6)y′＝0.(7)y′＝.
(8)y′＝ex.
(9)y′＝(3x)′＝3xln 3.
(10)y′＝(log5x)′＝.
归纳总结：1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不
必要的运算失误．
3．要特别注意“与 ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．
(对应训练一)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝__________.
解析　∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.
答案　3x2－
(对应训练二)给出下列结论：①(cos x)′＝sin x；②′＝cos；③若 y＝，则 y′＝－；
④′＝.其中正确的个数是(　　)
A．0　　　　　　 B．1 C．2 D．3
解析　因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sin＝，而′＝0，所以②错误；
′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；
′＝(－x－)′＝x－＝，所以④正确，故选 B.
答案　B
二、求某一点处的导数
例2 在曲线 y＝f(x)＝上求一点 P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135°.
解析　设切点坐标为 P(x0，y0)，f′(x0)＝－2x＝tan 135°＝－1，
即－2x＝－1，∴x0＝2.代入曲线方程得 y0＝2－，
∴点 P的坐标为（2，2－）.
答案 （2，2－）
归纳总结：1.在某点处的导数与导函数是不同的，在某点处的导数是指在该点处的导
数值．
2．求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入
导函数便可求解．
(对应训练一) (1)求函数 f(x)＝在(1,1)处的导数；
(2)求函数 f(x)＝cos x在处的导数．
解析　(1)∵f′(x)＝＝(x－)′＝－x－＝－，∴f′(1)＝－＝－.
(2)∵f′(x)＝－sin x，∴f′＝－sin ＝－.
答案 (1) － (2) －
(对应训练二)已知 f(x)＝，且 f′(1)＝－，求 n.
解析　f′(x)＝(x－)′＝－x－－1，f′(1)＝－×1－－1＝－，∴n＝4.
答案 4
三、利用导数公式求曲线的切线方程
例3 已知曲线方程 y＝x2，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
解析　设P(x0，y0)为切点，则切线斜率 k＝f′(x0)＝2x0，
故切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，
∵P(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x，
∴切线方程为：y－x＝2x0(x－x0)，
又(3,5)在切线上，将(3,5)代入上式得：5－x＝2x0(3－x0)，
解得：x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，
故所求切线方程为 y－1＝2×1×(x－1)或y－25＝2×5×(x－5)，
即：2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
答案 2x－y－1＝0或10x－y－25＝0
归纳总结：1.求过点 P的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况
的解法是不同的．
2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：
一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是
曲线在此切点处的导数值．
(对应训练一)已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2上的两点，求与直线 PQ 垂直的
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