专题五 等比数列-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

3.0 envi 2025-05-18 18 4 78.54KB 18 页 3知币
侵权投诉
专题五 等比数列
基本公式
1．等比中项：如果在 a与b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 G叫做
a与b的等比中项，这三个数满足关系式 G＝±.
2．等比中项的理解
(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当 a，b异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第 2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与
后一项的等比中项．
(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为 0)，可以用它来判断或证明
三数是否成等比数列．
3．等比数列的判定
(1)定义法：＝q(q为常数且 q≠0)或＝q(q为常数且 q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}是等比数列．
4．等比数列的性质：
(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}
是等比数列，c是不等于 0的常数，则{c·an}也是等比数列．
(2)若已知等比数列{an}中的任意两项 an，am，由 an＝am·qn－m可以求得公比 q＝
(3)在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq.
①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，kN∈*)时，am·an＝a.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 a1·an＝
a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
(4)在等比数列{an}中，每隔 k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比
数列，公比为 qk＋1.
(5)当m，n，p(m，n，pN∈*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
5．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为 an＝·qn，而 y＝·qx(q≠1)是一个不为 0的常数与指数函数
qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qn}中的各项的点是函数 y＝·qx的图象上的孤立点．
6．等比数列的常用结论
(1)若{an}是公比为 q的等比数列，则下列数列：
①{can}(c为任一不为零的常数)是公比为 q的等比数列．
②{|an|}是公比为|q|的等比数列．
③{a}(m为常数，mN∈*)是公比为 qm的等比数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公比为 q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为 q1·q2的等比
数列．
7．等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则
(1)当或时，等比数列{an}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{an}为递减数列．
8．等比数列连续几项的设法
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…，，a，aq，aq2…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为：，，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，，，aq，aq3，aq5…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.
例题分析
一、等比数列的通项公式
例1 (1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数 n为(　　)
A．3　　　　　B．4 C．5 D．6
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且 a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式
an＝________.
解析　(1)因为 an＝a1qn－1，所以×n－1＝，即 n＝5，解得 n＝5.
(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由 a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列
{an}递增，所以 q＝2.
a＝a10⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为 an＝2n.
答案　(1)C　(2)2n
归纳总结：等比数列通项公式的求法：a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个
基本量，问题便迎刃而解．关于 a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于 a1，q的方程组，求出 a1，q后再求 an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q后，再求 a1，最后求 an，这种方法带有一定
的技巧性，能简化运算．
(对应训练一)在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求 an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
解析　设首项为 a1，公比为 q.
(1)解法一：所以
由得 q3＝4，q＝，又∵a1q3＝2，∴a1＝，an＝2.
解法二：因为 a7＝a4q3，所以 q3＝4，q＝，an＝a4qn－4＝2.
(2)解法一：因为
由得 q＝，从而 a1＝32，又 an＝1，
所以 32×n－1＝1，即 26－n＝20，即 n＝6.
解法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝，
由a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32，由 an＝a1qn－1＝1，
∴32×n－1＝1,32＝2n－1＝25，所以 n＝6.
答案　(1) 2　(2)6
专题五 等比数列-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版).docx

共18页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：初中 价格：3知币 属性：18 页 大小：78.54KB 格式：DOCX 时间：2025-05-18

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 18
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注