专题五 导数与函数的最值-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题五 导数与函数的最值
基本知识点
1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值：假设函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条
连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，若函数在[a，b]内是
可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．
2．求可导函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．
(2)计算函数 f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为
最小值．
例题分析
一、求函数的最值
例1 (1)函数 y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为(　　)
A．72　　　　 B．36 C．12 D．0
(2)函数 f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A．1－e B．－1 C．－e D．0
(3)求函数 f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．
解析　(1)因为 y＝x4－4x＋3，所以 y′＝4x3－4，令 y′＝0，解得 x＝1．当 x<1 时，y
′<0，函数单调递减；当 x>1 时，y′>0，函数单调递增，所以函数 y＝x4－4x＋3在x＝1处取
得极小值 0.而当 x＝－2时，y＝27，当 x＝3时，y＝72，所以当 x＝1时，函数 y＝x4－4x＋
3取得最小值 0，故选 D.
(2)f′(x)＝－1，令 f′(x)＝0，得 x＝1．
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当 x∈(1，e)时，f′(x)<0，
∴当 x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为 f(1)＝－1，故选 B.
(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得 x＝－1，x＝0，x＝1．
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x－3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2 2
)
f′(x)＋0－0＋0－
f(x)
－
60
↗极大值 4↘极小值 3↗极大值 4↘－5
∴当 x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值 4.
答案　(1)D　(2)B (3) 最小值－60；最大值 4.
归纳总结：求函数最值的四个步骤：
第一步，求函数的定义域；
第二步，求 f′(x)，解方程 f′(x)＝0；
第三步，列出关于 x，f(x)，f′(x)的变化表；
第四步，求极值、端点值，其中最大者便是最大值，最小者便是最小值．
(对应训练一)求下列函数的最值．
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
解析 (1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0解得 x＝－或 x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x(－∞，－)－(－，) (，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x)↗极大值 ↘极小值 ↗
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8，所以当 x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值 18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令 f′(x)＝0，又 x∈[0,2π]，解得 x＝π或x＝π.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x0 π π 2π
f′(x)＋0－0＋
f(x) 0 ↗极大值：＋ ↘极小值：π－↗π
∴当 x＝0时，f(x)有最小值 f(0)＝0；当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
(对应训练二)已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为 1，则 m＝
__________.
解析　f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得 x＝0或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)<0，
当x∈(0,2)时，f′(x)>0，
∴当 x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．∴f(0)＝m＝1．
答案　1
二、已知函数的最值求参数
例2 已知函数 f(x)＝ln x＋，若函数 f(x)在[1，e]上的最小值是，求 a的值．
解析　函数的定义域为[1，e]，f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得 x＝a，
①当 a≤1时，f′(x)≥0，函数 f(x)在[1，e]上是增函数，
f(x)min＝f(1)＝ln 1＋a＝，∴a＝∉(－∞，1]，故舍去．
②当 1<a<e 时，令 f′(x)＝0得x＝a，
函数 f(x)在[1，a]上是减函数，在[a，e]上是增函数，
∴f(x)min＝f(a)＝ln a＋＝.∴a＝∈(1，e)，故符合题意．
③当 a≥e时，f′(x)≤0，函数 f(x)在[1，e]上是减函数，f(x)min＝f(e)＝ln e＋＝，
∴a＝e∉[e，＋∞)，故舍去，综上所述 a＝.
归纳总结：解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极
值就是函数的最值，同时由于系数 a的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受 a
的符号的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知
向未知转化，通过待定系数法，布列相应的方程，从而得出参数的值．
(对应训练一)若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值为 3，最小值为－29，
求a、b的值．
解析　f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．
令f′(x)＝0，得 x＝0或x＝4，因为 x∈[－1，2]，所以 x＝0.
因为 a>0，所以 f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：
x(－1，0) 0(0，2)
f′(x)＋0－
f(x)↗ 最大值 3↘
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