专题突破09 最值问题与范围问题（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第二册）

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专题突破——09 最值问题与范围问题
题型一 距离类问题
1．设动直线 与函数 ， 的图象分别交于点 、 ，则 的最小值为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：画图可以看到 就是两条曲线间的垂直距离．
设 ，
求导得： ．
令 得 ；令 得 ，
所以当 时， 有最小值为 ，
故选： ．
2．已知实数 ， ， ， 满足 ，其中 是自然对数的底数，则 的最小
值为 　　
A．4 B．8 C．12 D．18
【解答】解： 实数 ， ， ， 满足 ， ， ，
点 在曲线 上，点 在曲线 上，
的几何意义就是曲线 到曲线 上点的距离最小值的平方．
考查曲线 上和直线 平行的切线，
，求出 上和直线 平行的切线方程，
令 ，
解得 ， 切点为 ，
该切点到直线 的距离 就是所要求的两曲线间的最小距离，
故 的最小值为 ．
故选： ．
3．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 　　
A．B．C．D．
【解答】解： 函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称
函数 上点 到直线 的距离为
设 则
由 可得 ，
由 可得
函数 在 单调递减，在 ， 单调递增
当 时，函数
故选： ．
4．已知直线 分别与函数 和 交于 ， 两点，则 ， 之间的最短距离是 　　
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，设 ， ， ， ，则 ，即 ，
由指数函数及根式函数的图象及性质可知， ，
，
设 （a） ，则 ，
易知函数 （a）在 单调递减，在 单调递增，
，即 ， 之间的最短距离是 ．
故选： ．
5．已知函数 ， ，若关于 的方程 有两个不等实根 ， ，
且 ，则 的最大值是 　　
A．0 B．2 C．D．
【解答】解：由于 ，故函数 单调递增，则原问题等价于函数 有两个不相等
的实数根 ， ，且 ，求 的最大值．
绘制函数 的图象如图所示，
观察可得 ，
不妨设 ，则 ，
关于 的函数 单调递增，故 的最大值为 ．
故选： ．
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