专题突破06 切线问题综合（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第二册）

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专题突破——06 切线问题综合
1．已知 ，曲线 上存在两点 ， ，使以 ， 为切点的切线相互垂
直，则实数 的取值范围是　 　
【解答】解： ，由题意，导函数在 有两个互异零点，
故 ，即 ，所以 ①．
，所以，当 时， ， 递减；当 时， ， 递增．
且 （2） ， （1） ． ， ，
要使曲线 上存在两点 ， ，使以 ， 为切点的切线相互垂直，
只需 即可，解得 ，结合①式得：
即为所求．
故答案为： ．
2．若直线 既是曲线 的切线，又是曲线 的切线，则 　 1 　 ．
【解答】解：设 与 和 的切点分别为 ， 、 ， ，
由导数的几何意义可得 ，
再根据直线 既是曲线 的切线，又是曲线 的切线，
可得 ，
联立上述式子解得 ， ，
故答案为：1．
3．若直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 　 2 　 ．
【解答】解：设切点 ， ， ， ，
由题意得 ，所以 ，切线方程分别可以表示为：
，
，
所以有 ，解得 ，即 ．
故答案为：2
4．若过点 可以作曲线 的两条切线，则 　　
A．B．C．D．
【解答】解：由 ，得 ，
设切点横坐标为 ，则 ，
切线方程为 ，把 代入，
可得 ，令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
则 的最小值为 （a） ，
要使过点 可以作曲线 的两条切线，则 ．
故选： ．
5．已知函数 ，曲线 上总存在两点 ， ， ， ，使
得曲线在 ， 两点处的切线互相平行，则 的取值范围为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：函数 的导数为 ，
由曲线 在 ， 两点处的切线互相平行，可得 ，
化为 ，即为 ，
由 ，可得 ，
由 在 ， 递增，可得 ，
则 ，
故选： ．
6．若曲线 在点 ， 处的切线方程为 ，则 的最小值为 　　
A．B．C．D．1
【解答】解： ，因为切点在直线上，所以 ①，
，结合导数的几何意义有 ②，
因为 ，所以 ，
联立①②消去 得 ，所以 ， ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
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