专题突破03 数列的性质（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第二册）

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专题突破 03 数列的性质
题型一 根据数列的单调性求参数的范围
1．已知数列 的通项公式为 ，且为严格单调递增数列，则实数 的取值范围是 　
　．
【解答】解：根据题意，数列 的通项公式为
若数列 是递增数列，必有 恒成立，
又由 ，且 ，则 ，
必有 ，
即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
2．如果数列 为递增数列，且 ，则实数 的取值范围 　 　
【解答】解：因为数列 为递增数列，且 ，
所以当 时， 恒成立，
即 ，在 时恒成立，
所以 ．
故填： ．
3．已知数列 满足 ，且数列 是单调递增数列，则 的取值范围是 　　
A． ， B． ， C．D． ，
【解答】解： 数列 满足 ，且数列 是单调递增数列，
，求得 ，
故选： ．
4．已知数列 的通项公式为 ，若满足 ，且当 时，始终满足 ，则实数
的取值范围是　 　．
【解答】解： 的对称轴为 ，开口向下，
又 当 时， ， ，
， ，
故答案为： ．
5．已知数列 是递减数列，且对于任意正整数 恒成立，则 的取值范围是　 　．
【解答】解：依题意，当 时 ，都有 ，
，
即 ．
故填： ．
6．已知数列 满足 ，其中 ， ，若 对 恒成立，
则实数 的取值范围是　 ， 　．
【解答】解：由 ，
得 ，
数列 的奇数项与偶数项均是以 为公差的等差数列，
， ，
当 为奇数时， ，
；
当 为偶数时， ，
．
当 为奇数时，由 ，得 ，
即 ．
若 ， ，若 则 ， ；
当 为偶数时，由 ，得 ，
即 ， ，即 ．
综上， 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
7．已知各项不为零的数列 的前 项的和为 ，且满足 ，若 为递增数列，则 的取值
范围为　 或 　．
【解答】解： 时， ， ，解得 ．
时， ，化为： ．
为递增数列， 时， ，恒成立，因此 ．
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