专题四 等差数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(原卷版)

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专题四 等差数列的前 n项和
基本公式
一、等差数列的前 n项和公式
若数列{an}是等差数列，首项为 a1，公差为 d，则前 n项和 Sn＝.把an＝a1＋(n－1)d代
入Sn＝中，就可以得到 Sn＝na1＋d.
二、等差数列前 n项和的性质　
1．若数列{an}是公差为 d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
2．若 Sm，S2m，S3m分别为{an}的前 m项，前 2m项，前 3m项的和，则 Sm，S2m－
Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为 m2d.
3．设两个等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别为 Sn，Tn，则＝.
4．对于等差数列，若 S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为 d，
①当项数为偶数 2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数 2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
5．等差数列{an}中，若 Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则 Sm＋n＝－(m＋n)．
6．等差数列{an}中，若 Sn＝Sm(m≠n)，则 Sm＋n＝0.
例题分析
一、有关等差数列前 n项和公式的计算
例1 (1)将含有 k项的等差数列插入 4和67 之间，结果仍成一新的等差数列，并且新
的等差数列所有项的和是 781，则 k的值为(　　)
A．20　　 B．21 C．22　 D．24
(2)记等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S2＝4，S4＝20，则该数列的公差 d为(　　)
A．7　　 B．6　　 C．3　　 D．2
(3)已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 S6＝2，S9＝5，则 S15＝______.
(对应训练一)已知 S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求 n.
(对应训练二)已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，S4＝20，求 S6；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求 d.
二、等差数列前 n项和的性质
例2 (1)已知等差数列{an}前n项和为 Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则 n＝(
)
A．12　　 B．14 C．16　　 D．18
(2)已知等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别为 Sn，Tn，若对于任意的自然数 n，都有＝，
则＋＝(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
(3)已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求 S110.
(对应训练一) (1)已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则
n＝(　　)
A．7　　 B．8 C．9　　 D．10
(2)若{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＝5，b1＝15，a100＋b100＝100，求数列{an＋
bn}的前 100 项的和．
(对应训练二)等差数列{an}的通项公式是 an＝2n＋1，其前 n项和为 Sn，求数列前 10 项
的和．
三、等差数列前 n项和的比例问题
例3 已知等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别为 Sn，Tn且＝，则＝________；
(对应训练)若两个等差数列{an}和{bn}的前 n项和 An和Bn满足关系式＝(n∈N*)，求.
四、等差数列前奇数项与偶数项和
例4 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为 24 和30，最后一项
与第一项之差为 10.5，求此数列的首项，公差，项数．
(对应训练) (1)一个等差数列共 2011 项，求它的奇数项和与偶数项和之比；
(2)一个等差数列前 20 项和为 75，其中的奇数项和与偶数项和之比为 1∶2，求公差 d.
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