专题四 等差数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题四 等差数列的前 n项和
基本公式
一、等差数列的前 n项和公式
若数列{an}是等差数列，首项为 a1，公差为 d，则前 n项和 Sn＝.把an＝a1＋(n－1)d代
入Sn＝中，就可以得到 Sn＝na1＋d.
二、等差数列前 n项和的性质　
1．若数列{an}是公差为 d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
2．若 Sm，S2m，S3m分别为{an}的前 m项，前 2m项，前 3m项的和，则 Sm，S2m－
Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为 m2d.
3．设两个等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别为 Sn，Tn，则＝.
4．对于等差数列，若 S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为 d，
①当项数为偶数 2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数 2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
5．等差数列{an}中，若 Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则 Sm＋n＝－(m＋n)．
6．等差数列{an}中，若 Sn＝Sm(m≠n)，则 Sm＋n＝0.
例题分析
一、有关等差数列前 n项和公式的计算
例1 (1)将含有 k项的等差数列插入 4和67 之间，结果仍成一新的等差数列，并且新
的等差数列所有项的和是 781，则 k的值为(　　)
A．20　　 B．21 C．22　 D．24
(2)记等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S2＝4，S4＝20，则该数列的公差 d为(　　)
A．7　　 B．6　　 C．3　　 D．2
(3)已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 S6＝2，S9＝5，则 S15＝______.
解析　(1)由题可知 781＝∴k＋2＝22，∴k＝20，故选 A．
(2)S2＝a1＋a2＝2a1＋d＝4　①
S4＝4a1＋6d＝20　②
由①②解得 a1＝，d＝3.故选 C．
(3)由6a1＋d＝2,9a1＋d＝5得a1＝－，d＝，
所以 S15＝15a1＋d＝15.
答案 (1) A (2) C (3)15
归纳总结：等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前 n项和公式中有五个量 a1，d，n，an和
Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量 a1和d的方程组，解出 a1和
d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2) 结 合 等 差 数 列 的 性 质 解 题 ： 等 差 数 列 的 常 用 性 质 ： 若 m＋n＝p＋
q(m，n，p，qN∈*)，则 am＋an＝ap＋aq，常与求和公式 Sn＝结合使用．
(对应训练一)已知 S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求 n.
解析 S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510.
∴n＝20.
答案 20
(对应训练二)已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，S4＝20，求 S6；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求 d.
解析　(1)S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，∴d＝3.
故S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48.
(2)由Sn＝＝＝－1 022，解得 n＝4.
又由 an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得 d＝－171.
答案 (1)48 (2) －171
二、等差数列前 n项和的性质
例2 (1)已知等差数列{an}前n项和为 Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则 n＝(
)
A．12　　 B．14 C．16　　 D．18
(2)已知等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别为 Sn，Tn，若对于任意的自然数 n，都有＝，
则＋＝(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
(3)已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求 S110.
解析　(1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80.
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40.
两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30.
由Sn＝＝210，∴n＝14.
(2)原式＝＝＝＝
＝＝＝.
(3)方法一：因为 S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100 成等差数列，设公差
为d，前 10 项的和为：10×100＋d＝10，所以 d＝－22，
所以前 11 项的和 S110＝11×100＋d＝11×100＋×(－22)＝－110.
方法二：设等差数列{an}的公差为 d，
则＝(n－1)＋a1，所以数列{}成等差数列．
所以＝，
即＝，
所以 S110＝－110.
方法三：设等差数列{an}的公差为 d，
S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…
＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，
又S100－10S10＝d－d＝10－10×100，
即100d＝－22，所以 S110＝－110.
答案 (1)B (2)A (3)－110
归纳总结：等差数列前 n项和的性质
(1)等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也构成等差数列．
(2)若{an}与{bn}均为等差数列，且前 n项和分别为 Sn与S′n，则＝.
(3)若等差数列{an}的前 n项和为 Sn，则数列是等差数列，且首项为 a1，公差为 .
(4)等差数列{an}中，若 Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则 Sm＋n＝－(m＋n)．
(5)等差数列{an}中，若 Sn＝Sm(m≠n)，则 Sm＋n＝0.
(对应训练一) (1)已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则
n＝(　　)
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