专题四 导数与函数的极值-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题四 导数与函数的极值
基本知识点
1．函数极值的求法
求函数 y＝f(x)的极值的方法是：解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0时
(1)如果在 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值．
(2)如果在 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点必须是导数为 0的点，但导数为 0的点不一定是极值点．
(2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点．
(3)导数为 0是极值点：y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值点．
(4)导数为 0但不是极值点：y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是极值点．
(5)不可导点是极值点：y＝|sin x|，x＝0不可导，是极小值点．
(6)不可导点不是极值点：y＝x，x＝0不可导，不是极值点．
3．求可导函数 y＝f(x)极值的步骤
(1)求导数 f′(x)；
(2)求方程 f′(x)＝0的所有实数根；
(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数 f′(x)的符号如何变化．如
果f′(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；如果 f′(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值；如
果在 f′(x)＝0的根 x＝x0的左右侧符号不变，则 f(x0)不是极值．
例题分析
一、求函数的极值
例1 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－x2－3x；(2)f(x)＝x4－4x3＋5；(3)f(x)＝.
解析 (1)函数的定义域为 R.f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得 x1＝－1，x2＝3.
由此可知当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x(－∞，－1) －1 (－1,3) 3(3，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x)↗极大值 ↘极小值 ↗
当x＝－1时，f(x)有极大值.当x＝3时，f(x)有极小值－9.
(2)因为 f(x)＝x4－4x3＋5，所以 f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．
令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得 x1＝0，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x(－∞，0) 0 (0,3) 3 (3，＋∞)
f′(x)－0－0＋
f(x)↘ 不是极值 ↘ 极小值 ↗
故当 x＝3时函数取得极小值，且 f(3)＝－22.
(3)函数 f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝.
令f′(x)＝＝0，得 x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x(0，e) e(e，＋∞)
f′(x)＋0－
f(x)↗
极 大
值
↘
故当 x＝e时函数取得极大值，且 f(e)＝.
归纳总结：1.求可导函数 f(x)极值的步骤：
(1)求函数的导数 f′(x)；
(2)令f′(x)＝0，求出全部的根 x0；
(3)列表，方程的根 x0将整个定义域分成若干个区间，把 x，f′(x)，f(x)在每个区间内的
变化情况列在这个表格内；
(4)判断得结论，若导数在 x0附近左正右负，则在 x0处取得极大值；若左负右正，则
取得极小值．
2．注意事项：
(1)不要忽略函数的定义域；
(2)要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．
(对应训练一)函数 y＝1＋3x－x3的极大值点为________，极小值点为________．
解析 y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)，
令y′＝0，解得 x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，y′<0，函数是减函数，
当－1<x<1 时，y′>0，函数是增函数，
当x>1 时，y′<0，函数是减函数，
所以当 x＝－1时，函数有极小值．
当x＝1时，函数有极大值．
答案 1　－1
(对应训练二)求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝x2e－x.
解析　(1)函数 f(x)的定义域为 R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得 x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x(－∞，－2) －2 (－2,2) 2(2，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x)↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
从表中可以看出，当 x＝－2时，函数 f(x)有极大值，且 f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝
16；
当x＝2时，函数 f(x)有极小值，且 f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R.
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