专题十一 并项求和法、含绝对值数列求数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题十一 并项求和法、含绝对值数列求数列的前 n项和
基本公式
并项求和法：一个数列的前 n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 an＝
(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝
(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.总之，在求数列的前 n项和时，应先考查其通项
公式，根据通项公式的特点，再来确定选用何种求和方法．数列求和的实质就是一个代数
式(或超越式)的化简问题．
例题分析
一、并项求和
例1 已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 an＝2Sn－1(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等比数列；
(2)若bn＝(2n＋1)an，求{bn}的前 n项和 Tn.
解析　(1)证明：当 n＝1时，a1＝2S1－1＝2a1－1，得 a1＝1；
当n≥2 时，an＝2Sn－1，
an－1＝2Sn－1－1，两式相减可得 an－an－1＝2an，
化简得 an＝－an－1，
所以{an}是首项为 1，公比为－1的等比数列．
(2)由(1)可得 an＝1×(－1)n－1，
所以 bn＝(2n＋1)×(－1)n－1，
当n为偶数时，bn－1＋bn＝－2.
∴Tn＝×(－2)＝－n.
当n为奇数时，n－1为偶数，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋2n＋1＝n＋2.
综上，数列{bn}的前 n项和为 Tn＝
答案 (1) 首项为 1，公比为－1的等比数列 (2) Tn＝
归纳总结：数列的通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常要对 n取值的奇偶性进行分类
讨论，应首先求出当 n为偶数时的 Sn，再考虑当 n为奇数时，n－1为偶数，所以 Sn＝Sn－1
＋an.
(对应训练一)求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
解析　当 n为偶数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝n.
当n为奇数时，n－1为偶数，
∴Sn＝Sn－1＋(－1)n(2n－1)＝n－1＋(－1)(2n－1)＝－n.
∴Sn＝(－1)n·n，(nN∈*)．
答案 (－1)n·n
(对应训练二)已知函数 f(n)＝n2cos(nπ)，且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a100＝
________.
解析 因为 f (n)＝n2cos(nπ)，所以 a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (100)]
＋[f (2)＋…＋f (101)]，f (1)＋f(2)＋…＋f (100)＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－
12)＋(42－32)＋…(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝＝5 050，f(2)＋…＋f (101)＝22－32＋42－…
－992＋1002－1012＝(22－32)＋(42－52)＋…＋(1002－1012)＝－5－9－…－201＝＝－5 150，
所以 a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]＝－5 150＋5
050＝－100.
答案 －100
二、含绝对值数列求前 n项和
例2 已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为 8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前 n项和．
解析　(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，
由题意得，解得或.
所以由等差数列通项公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或 an＝－4＋3(n－1)＝3n－
7.
故an＝－3n＋5，或 an＝3n－7.
(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不满足条件；
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