专题十二 数学归纳法-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题十二 数学归纳法
基本知识点
1．验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个 n0，就是
我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起
点，奠基要稳”是第一个关键点．
2．递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正
确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由 n＝k到n＝k＋1时，等
式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
3．利用假设是核心：在第二步证明 n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把
归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写 f(k＋1)时，一定要把包
含f(k)的式子写出来，尤其是 f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的
证明就不是数学归纳法．
例题分析
一、用数学归纳法证明等式
例1 用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
证明　(1)当n＝1时，＝成立．
(2)假设当 n＝k(n∈N*)时等式成立，即有
＋＋…＋＝，
则当 n＝k＋1时，＋＋…＋＋
＝＋
＝，
即当 n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可得对于任意的 n∈N*等式都成立．
归纳总结：
(1)验证第一个 n的值时，要注意 n0不一定为 1，若 n＞k(k为正整数)，则 n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从 n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，
不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(对应训练一)用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝.
证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．
(2)假设当 n＝k时，等式成立，
即＋＋＋…＋＝成立．
当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝＝.
所以 n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可得，对一切 n∈N*，等式成立．
(对应训练二)求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝＝，左边＝右边．
(2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成立，
即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当 n＝k＋1时，
＋
＝＋
＝＋＋…＋＋.
即当 n＝k＋1时，等式也成立．
综合(1)，(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
二、用数学归纳法证明不等式
例2 已知 n∈N*，n＞2，求证：1＋＋＋…＋ ＞.
证明　(1)当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋＞.
当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋ ＞＋
＝＝ .
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