专题十 分组求和法求数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

3.0 envi 2025-05-18 15 4 38.09KB 5 页 3知币
侵权投诉
专题十 分组求和法求数列的前 n项和
基本知识点
分组求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列
组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．例如：an＝bn＋cn，数列{bn}，
{cn}是等比数列或等差数列，采用分组转化法求{an}前n项和。
例题分析
一、分组转化求和
例1 已知数列 1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n，….
(1)求其通项公式 an；
(2)求这个数列的前 n项和 Sn.
解析　(1)an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1.
∴这个数列的通项公式为 an＝2n－1.
(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n
＝－n＝2n＋1－n－2.
答案 (1) 2n－1 (2) 2n＋1－n－2
归纳总结：分组转化求和法：如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并
且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前 n项和可考虑拆项后利用公式求解．
(对应训练一)各项均为正数的等比数列{an}，a1＝1，a2a4＝16，数列{bn}的前 n项和为
Sn，且 Sn＝(n∈N＋)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n项和 Tn.
解析　(1)设公比为 q，∵a1＝1，a2a4＝16，
∴q4＝16，∵q＞0，∴q＝2.∴an＝2n－1.
∵Sn＝，
∴当 n≥2 时，bn＝Sn－Sn－1＝－＝3n－1.
当n＝1时，b1＝S1＝2满足上式，∴bn＝3n－1.
(2)cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(2＋5＋…＋3n－1)
＝＋＝2n－1＋.
答案 (1) an＝2n－1 bn＝3n－1 (2) 2n－1＋
(对应训练一)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}是首项为 1，公比为 q的等比数列，求{bn}的前 n项和 Sn.
解析　(1)设等差数列{an}的公差是 d.
∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，∴d＝－3，
∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得 a1＝－1，
∴数列{an}的通项公式为 an＝－3n＋2.
(2)∵数列{an＋bn}是首项为 1，公比为 q的等比数列，
∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，
∴bn＝3n－2＋qn－1，
∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)
＝＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)，
故当 q＝1时，Sn＝＋n＝；
当q≠1 时，Sn＝＋.
答案 (1) －3n＋2 (2) 故当 q＝1时，Sn＝＋n＝；当q≠1 时，Sn＝＋.
二、分组转化求和在函数中的应用
例2 数列{an}的通项 an＝n2，其前 n项和为 Sn，则 S30 为________．
解析 ∵an＝n2＝n2cos ，
∴S30＝12·cos ＋22·cos ＋32·cos 2π＋…＋302·cos 20π
＝－×12－×22＋32－×42－×52＋62＋…－×282－×292＋302
＝－[(12＋22－2×32)＋(42＋52－2×62)＋…＋(282＋292－2×302)]
＝－[(12－32)＋(42－62)＋…＋(282－302)＋(22－32)＋(52－62)＋…＋(292－302)]
＝－[－2(4＋10＋16＋…＋58)－(5＋11＋17＋…＋59)]
专题十 分组求和法求数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版).docx

共5页,预览2页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：初中 价格：3知币 属性：5 页 大小：38.09KB 格式：DOCX 时间：2025-05-18

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 5
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注