专题三 等差数列-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题三　等差数列
基本知识点
1．等差数列的递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，nN∈*)
2．等差中项：如果 a，A，b成等差数列．那么 A叫做 a与b的等差中项．满足的关
系式是 a＋b＝2A．
3．等差中项的理解：
(1)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若 an，an＋
1，an＋2满足 2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为 2an＋1＝an＋an＋2等价于 an＋1
－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义．
(2)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．
4．等差数列中项与序号的关系
(1)两项关系：在等差数列{an}中，当 m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易
求出公差，还可变形为 am＝an＋(m－n)d(m，n∈N*).
(2)多项关系：若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则an＋am＝ap＋aq.特别地，若 m＋n
＝2p(m，n，p∈N*)，则 am＋an＝2ap.
5．等差数列的判定方法：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇒{an}是等差数列．
(2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)⇒{an}是等差数列．
(3)中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇒{an}是等差数列．
(4)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即 a1＋an
＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
6．等差数列的单调性：等差数列{an}的公差为 d，
(1)当d>0 时，数列{an}为递增数列．
(2)当d<0 时，数列{an}为递减数列．
(3)当d＝0时，数列{an}为常数列．
7．等差数列常用结论
(1)若{an}是公差为 d的等差数列，则下列数列：
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为 d的等差数列；
②{c·an}(c为任一常数)是公差为 cd 的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为 2d的等差数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是
公差为 pd1＋qd2的等差数列．
(3)若{an}是等差数列，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…，(k，m∈N＋)组成公差为 md 的等差数列.
8．试题中等差数列的对称项的设法
三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：
(1)当等差数列{an}的项数 n为奇数时，可设中间一项为 a，再用公差为 d向两边分别
设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)当等差数列{an}的项数 n为偶数时，可设中间两项为 a－d，a＋d，再以公差为 2d
向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
例题分析
一、等差数列的通项公式
例1 (1) 2 000 是等差数列 4,6,8，…的(　　)
A．第 998 项　　B．第 999 项 C．第 1 001 项　　D．第 1 000 项
(2)已知等差数列 1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及第 20 项．
解析　(1)数列 4,6,8，…的通项公式为 an＝2n＋2.则2n＋2＝2 000.解得 n＝999.
(2)由题意可知 a1＝1，a2＝－3，所以公差 d＝a2－a1＝－4.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝1－4(n－1)＝5－4n.所以 a20＝5－4×20＝－75.
即该数列的通项公式为 an＝5－4n，第 20 项为－75.
答案 (1)B (2) an＝5－4n，a20＝－75.
归纳总结：解决等差数列通项公式的方法：
(1)应用等差数列的通项公式求 a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由 am＝a，an＝
b，得求出 a1和d，从而确定通项公式．
(2)若已知等差数列中的任意两项 am，an，求通项公式或其他项，则运用 am＝an＋(m－
n)d较为简捷．
(对应训练一)在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，求首项 a1与公差 d；
解析　(1)解法一：因为 a5＝10，a12＝31，故
即
所以，这个等差数列的首项是－2，公差是 3.
解法二：a12＝a5＋7d⇒31＝10＋7d⇒d＝3.
由10＝a1＋(5－1)×3 得a1＝－2.
所以，这个等差数列的首项是－2，公差是 3.
答案 首项是－2，公差是 3
(对应训练二)等差数列{an}中，
①已知 a3＝－2，d＝3，求 an的值；
②若 a5＝11，an＝1，d＝－2，求 n的值．
解析　①由 a3＝a1＋(3－1)d，得 a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.
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