专题三 导数与函数的单调性-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题三　导数与函数的单调性
基本公式
1．如果在(a，b)内，f′(x)>0，则 f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；
2．如果在(a，b)内，f′(x)<0，则 f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．
3．如果恒有 f′(x)＝0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内是常数函数．
4．利用导数求函数单调区间的基本步骤
(1)确定函数 f(x)的定义域．
(2)求导数 f′(x)．
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的 x的范围．当 f′(x)>0 时，f(x)在相应的区间上是增
函数；当 f′(x)<0 时，f(x)在相应的区间上是减函数．
(4)结合定义域写出单调区间．
例题分析
一、导数与单调性的关系
例1 如果函数 y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数 y＝f′(x)的图象可能是(　　)
解析　由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选
项A满足．
答案　A
归纳总结：1.利用导数符号判断单调性的方法：
利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区
间内的正负即可．
2．通过图象研究函数单调性的方法：
(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋
势；
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与 x轴的交点，分析导数的正负．
(对应训练一) (1)设f′(x)是函数 f(x)的导函数，将 y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直
角坐标系中，不正确的是(　　)
A　 　　　　B　　 　　　C　 　　　D
(2)若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的
图象可能是(　　)
A　　　 　B　　　 　　C　　 　　D
解析　(1)A，B，C均有可能；对于 D，若 C1为导函数，则 y＝f(x)应为增函数，不符合；
若C2为导函数，则 y＝f(x)应为减函数，也不符合．
(2)因为 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数 f(x)图象上的点的切
线斜率是递增的．
答案　(1)D　(2)A
(对应训练二)设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数 y＝f′(x)
可能为(　　)
解析　由函数 f(x)的图象知 f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f′(x)>0，故排除 A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区间，故排除 B，故选 D.
答案　D
二、求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间：
(1)y＝x3－2x2＋3；(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
解析　(1)函数的定义域为 R.
y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令 y′＞0，则 2x(x－2)＞0，
解得 x＜0或x＞2.
所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)．
令y′＜0，则 2x(x－2)＜0，解得 0＜x＜2.
所以函数的单调递减区间为(0,2)．
(2)函数 y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.
y′＝＋2x＝＝.
令y′＞0，解得－＜x＜－1或x＞－.
所以函数的单调递增区间为，.
令y′＜0，解得－1＜x＜－，
所以函数的单调递减区间为.
答案 (1) 单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)；单调递减区间为(0,2) (2) 单调递增
区间为，；单调递减区间为
归纳总结：利用导数求函数的单调区间：
(1)求定义域；
(2)解不等式 f′(x)>0(或f′(x)<0)；
(3)把不等式的解集与定义域求交集得单调区间．
(4)单调区间不能“并”，即不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．
(5)导数法求得的单调区间一般用开区间表示．
(对应训练一)求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)；(2)f(x)＝3x2－2lnx.
解析　(1)f′(x)＝2ax＋b＝2a(x＋)(a>0)．
由f′(x)>0，得 x>－；
由f′(x)<0，得 x<－.
∴函数 f(x)的单调增区间为(－，＋∞)，单调减区间为(－∞，－)．
(2)f′(x)＝6x－＝＝2·，
令f′(x)>0，即>0，∵x>0，∴3x2－1>0，∴x>.
令f′(x)<0，即<0，∵x>0，∴3x2－1<0，∴0<x<.
∴f(x)的单调增区间为(，＋∞)，单调减区间为(0，)．
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