专题强化2 与圆有关的的最值问题（解析版）2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.0 envi 2025-05-18 36 4 821.58KB 14 页 3知币
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微专题 2　与圆有关的最值问题
在某些题目中，已知所求代数式的结构特征具有明显的几何意义，可以和直线方程、圆的方程相联系，
我们可以利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．
最值问题解决方法
(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．
(3)圆上动点到定直线距离的最值可以先计算圆心到直线的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．
(4)形如 u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(5)形如 l＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线 y＝－x＋的截距的最值问题．
题型一、定点到圆上动点距离
1．已知圆 ： ，点 ，则点 到圆 上点的最小距离为（）
A．1 B．2 C．D．
【答案】C
【详解】由圆 ： ，得圆 ，半径 为 ，
所以 ，
所以点 到圆 上点的最小距离为 .
故选：C.
2．已知点 ，Q是圆 上的动点，则线段 长的最小值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以 ，圆上点 在线段 上时， ，
故选：A
3．若实数 x，y满足 ，则 的最小值为______．
【答案】1
【详解】因为 ，表示圆心为 ，半径 的圆，
而 表示圆上的点 与原点 的距离，
又 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为：1.
4．若圆 C的方程为 ，点 P是圆 C上的动点，点 O为坐标原点，则 的最大值为______．
【答案】
【详解】圆 的方程可化为 ，
所以圆心为 ，半径 .
由于 ，所以原点在圆 外，
所以 的最大值为 .
故答案为：
5．已知实数 x，y满足 ，求 的最大值与最小值．
【答案】最大值为 51，最小值为 11
【详解】已知方程 可化为 ，则此方程表圆，且圆心 C的坐标为 ，
半径长 ．又 ．它表示圆上的 到 的距离的平方再加 ；所以当
点P与点 E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点 P与点 E距离的最大值为 ，点 P
与点 E距离的最小值为 .又因为 ，
则 的最大值为 ， 的最小值为 ；
即 的最大值为 51，最小值为 11.
6．已知 分别是 轴和圆 上的动点，点 ，则 的最小值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【详解】由 ，得 ，故圆 的圆心坐标为 ，半径为 2.
如图，作点 关于 轴对称的点 ，当 四点共线时， 取得最小值，且最小值为
.
故选：C
题型二、可转化为点到直线的距离问题
专题强化2 与圆有关的的最值问题（解析版）2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

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