专题强化1 对称问题（原卷版）2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

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微专题 1　对称问题

在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．在本章中，对称主要有以下四种：点

点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以 “点关于直线对称”是最重

要的类型．

对称问题的解决方法

(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．

点P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点为 P′(2a－x，2b－y)．

(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．

设l的方程为 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点 P(x0，y0)，

则l关于 P点的对称直线方程为 A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.

(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．

设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于 l的对称点 Q可以通过条件① PQ⊥l；② PQ 的中点在 l上来求

得．

(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．

题型一、求点关于直线的对称点

1．点关于直线对称的点的坐标是______．

2．点关于直线的对称点的坐标为（）

A．B．C．D．

3．圆：关于直线对称的圆的方程为（）．

A．B．

C．D．

题型二、求直线关于点的对称直线

1．直线关于点对称的直线方程为（）

A．B．

C．D．

2．直线关于点对称的直线方程是______．

3．已知直线 l: .

(1)求点 P（3， 4)关于直线 l对称的点 Q；

(2)求直线 l关于点（2， 3)对称的直线方程．

题型三、求直线关于直线对称问题

1．与直线关于轴对称的直线方程为（）

A．B．

C．D．

2．已知直线，，则关于对称的直线方程为_____.

3．分别求直线关于轴、轴对称的直线的方程．

4．已知直线，关于轴对称，的方程为：，则点到直线的距离为___________.

5．已知直线 l：， P（3，-1），当 k为1时，求直线 l关于点 P的对称直线 l′，

并求直线 l与l′间的距离．

6．已知点，直线，直线 .

(1)求点 A关于直线的对称点 B的坐标；

(2)求直线关于直线的对称直线方程.

题型四、对称问题的应用

1．已知两点，点在直线上，则的最小值为（）

A．B．9 C．D．10

2．已知点､，点 P在x轴上，则的最小值为___________.

3．已知点，试在 y轴和直线上各取一点 B、C，使的周长最小．

（提示：尝试使用对称方法，用几何性质简化运算）

4．已知光线从点射出，经直线反射，反射光线过点．求：

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