专题七 利用导数解决实际问题-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(原卷版)

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专题七 利用导数解决实际问题
基本知识点
1．利用导数解决有关函数的最大值、最小值的实际问题，体现在以下几个方面：
(1)与几何有关的最值问题(求几何图形或几何体的面积与体积的最值)；
(2)与物理学有关的最值问题；
(3)与利润及其成本有关的最值问题．
2．优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通
常称为优化问题．
3．利用导数求优化问题的步骤．
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量
之间的函数关系式 y＝f(x)；
(2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使 f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值．
例题分析
一、面积容积最大最小问题
例1 用长为 18 m 的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为 2∶1，则
该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
(对应训练)横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径
为d的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的高和宽应是多少？
二、费用最省(成本最低)问题
例2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热
层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6万元．该建
筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年
的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
(对应训练)要设计一个容积为 V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面积的单位面积造价是
底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径
r和高 h之比为何值时造价最省？
三、利润最大问题
例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3元，并且每件产品需向总公
司交 a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为 x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为
(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L最大？并求出利润 L的最大值
Q(a)．
(对应训练一)甲、乙两地相距 400 千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超
过100 千米/时．已知该汽车每小时的运输成本 t(元)关于速度 x(千米/时)的函数关系式是 t＝
x4－x3＋15x.
(1)当汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为多少元？
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求出此时运输成本的最小值．
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