专题七 利用导数解决实际问题-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题七 利用导数解决实际问题
基本知识点
1．利用导数解决有关函数的最大值、最小值的实际问题，体现在以下几个方面：
(1)与几何有关的最值问题(求几何图形或几何体的面积与体积的最值)；
(2)与物理学有关的最值问题；
(3)与利润及其成本有关的最值问题．
2．优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通
常称为优化问题．
3．利用导数求优化问题的步骤．
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量
之间的函数关系式 y＝f(x)；
(2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使 f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值．
例题分析
一、面积容积最大最小问题
例1 用长为 18 m 的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为 2∶1，则
该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解析　设长方体的宽为 x m，长为 2x m，
则高为 h＝＝4.5－3x.
故长方体的体积为 V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3，
从而 V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
令V′(x)＝0，得 x＝0(舍去)或x＝1.
当0<x<1 时，V′(x)>0；
当1<x<时，V′(x)<0，故在 x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是 V(x)的最大
值，
从而 Vmax＝V(1)＝9×12－6×13＝3 m3，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.
即当长方体的长为 2 m、宽为 1 m、高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3.
答案 长为 2 m、宽为 1 m、高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3.
(对应训练)横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径
为d的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的高和宽应是多少？
解析　如图，设断面的宽为 x，高为 y.则当 xy2取极大值时，横梁的强度最大．又 y2＝
d2－x2.
∴f(x)＝xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)．f′(x)＝d2－3x2.　
令f′(x)＝0，解得 x＝，y＝d.
根据实际，当 x趋近于 0或d时，强度很小，因此 f为强度的极大值，同时也是最大值．
所以当宽为 d，高为 d时，横梁的强度最大．
答案 宽为 d，高为 d
二、费用最省(成本最低)问题
例2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热
层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6万元．该建
筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年
的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
解析　(1)由题设，隔热层厚度为 x cm，每年能源消耗费用为 C(x)＝，
再由 C(0)＝8，得 k＝40，因此 C(x)＝.
而建造费用为 C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，令 f′(x)＝0，即＝6，
解得 x＝5，x＝－(舍去)．
当0≤x<5 时，f′(x)<0，
当5<x≤10 时，f′(x)>0，
故x＝5是f(x)的最小值点，
对应的最小值为 f(5)＝6×5＋＝70.
所以，当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．
答案 (1) k＝40，f(x)＝＋6x(0≤x≤10) (2) 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小
值70 万元．
(对应训练)要设计一个容积为 V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面积的单位面积造价是
底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径
r和高 h之比为何值时造价最省？
解析　由V＝πr2h，得 h＝，
设盖的单位面积造价为 a，则储油罐的造价为
S(r)＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2＝5aπr2＋.
由S′(r)＝10aπr－＝0，
解得 r＝ ，于是 h＝＝ .
　由问题的实际意义，上述 S的唯一可能极值点就是 S的最小值点．
∴当＝＝时，储油罐的造价最省．
答案
三、利润最大问题
例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3元，并且每件产品需向总公
司交 a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为 x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为
(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L最大？并求出利润 L的最大值
Q(a)．
解析　(1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x的函数关系式为 L＝(x－3－a)(12－
x)2，x∈[9,11].
(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)(18＋2a－3x).
令L′(x)＝0得x＝6＋a(x＝12 不合题意，舍去).
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