专题七 倒序相加法求数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题七 倒序相加法求数列的前 n项和
基本知识点
倒序相加法：如果一个数列{an}的前 n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或
等于同一个常数，那么求这个数列的前 n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n项和
即是用此法推导的．即两式相加求出 Sn
例题分析
一、倒序相加法在数列中的应用
例1 在 中插入 个数，使它们和 组成等差数列 ，则
（　　）
A． B． C．D．
解析 令 ，倒过来写 ，两
式相加得 ，故 ，所以
，故选 B.
答案 B
(对应训练)已知函数 对任意的 都有 ，数列 满足
….求数列 的通项公式；
解析 因为 ， .
故 … .
….
①+②，得 ，
答案
二、倒序相加法在函数中的应用
例2 设f(x)＝，求 f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值．
解析　∵f(x)＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋
＝＋＝＝.
设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)，
则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)．
∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]．
∴原式＝{[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]}
＝×12×＝3.
答案 3
(对应训练)函数 f(x)＝(x∈R)，若 x1＋x2＝1，则 f(x1)＋f(x2)＝______，若 n∈N*，则 f()
＋f()＋…＋f()＋f()＝__________.
解析　f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝＝.
又nN∈*时，①当 n＝2k＋1(kN∈*)时，
f()＋f()＋…＋f()＋f()＝＋f(1)＝＋＝＋＝－；
②当 n＝2k(kN∈*)时，f()＋f()＋…＋f()＋f()＝＋f＋f(1)＝－；
③当 n＝1时，f()＝f(1)＝，也符合－.
综合①，②，③得 f()＋f()＋…＋f()＋f()＝－.
答案 －
专题训练
1．设 ， 为数列的前 n项和，求 的值是( )
A．B．0 C．59 D．
解析 令 ①
则 ②
①+②可得：
， ，故选 A。
答案 A
2．已知正数数列 是公比不等于 1的等比数列，且 ，若
，则 （ ）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
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