专题六 利用导数求恒成立问题-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(原卷版)

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专题六 利用导数求恒成立问题
基本公式
不等式恒成立问题的转化技巧
(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)max(或≤f(x)min);
(2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)min(或≤f(x))max)；
(3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)min≥0(其中 F(x)＝f(x)－g(x));
(4)f(x)≥g(x)恒有解⇔F(x)max≥0(其中 F(x)＝f(x)－g(x))．
例题分析
一、a≥f(x)(或≤f(x))恒成立问题
例1 已知函数 f(x)＝xln x.
(1)若函数 g(x)＝f(x)＋ax 在区间[e2，＋∞)上为增函数，求 a的取值范围；
(2)若对任意 x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数 m的最大值．
(对应训练一)设函数 f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的 x∈[0，3]，都有 f(x)＜c2成立，求 c的取值范围．
(对应训练二)设函数 f(x)＝xex－x＋2.
(1)若a＝1，求 f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求 a的取值范围．
二、f(x)≥g(x)恒成立问题
例2 已知 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数 f(x)的最小值；
(2)对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a的取值范围．
(对应训练)已知 f(x)＝－x3＋x－1，g(x)＝－2x＋m，当 x∈(0，2)时，f(x)<g(x)恒成立，
求实数 m的取值范围．
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