专题六 利用导数求恒成立问题-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题六 利用导数求恒成立问题
基本公式
不等式恒成立问题的转化技巧
(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)max(或≤f(x)min);
(2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)min(或≤f(x))max)；
(3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)min≥0(其中 F(x)＝f(x)－g(x));
(4)f(x)≥g(x)恒有解⇔F(x)max≥0(其中 F(x)＝f(x)－g(x))．
例题分析
一、a≥f(x)(或≤f(x))恒成立问题
例1 已知函数 f(x)＝xln x.
(1)若函数 g(x)＝f(x)＋ax 在区间[e2，＋∞)上为增函数，求 a的取值范围；
(2)若对任意 x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数 m的最大值．
解析 (1)由题意得 g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1.
∵函数 g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，
∴当 x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，
即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立．
∴a≥－1－ln x.
又当 x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)．
∴－1－ln x∈(－∞，－3]，
∴a≥－3，即 a的取值范围为[－3，＋∞)．
(2)由题知，2f(x)≥－x2＋mx－3，
即mx≤2x·ln x＋x2＋3.
又x>0，∴m≤.
令h(x)＝，
h′(x)＝
＝＝，
令h′(x)＝0.解得 x＝1，或 x＝－3(舍)．
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数 h(x)在(0,1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数 h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∴h(x)min＝h(1)＝4，即 m的最大值为 4.
归纳总结：恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式 f(x)<h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数的最大值
f(x)max，只要 h>f(x)max，则上面的不等式恒成立．
(2)要使不等式 f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数 f(x)的最小
值f(x)min，只要 f(x)min>h，则不等式 f(x)>h恒成立．
(对应训练一)设函数 f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的 x∈[0，3]，都有 f(x)＜c2成立，求 c的取值范围．
解析　(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，
因为函数 f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
所以 f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；
当x∈(1，2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2，3)时，f′(x)＞0.
所以，当 x＝1时，
f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c，
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
所以当 x∈[0，3]时，
f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的 x∈[0，3]，
有f(x)＜c2恒成立，
所以 9＋8c＜c2，
解得 c＜－1或c＞9.
因此 c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(对应训练二)设函数 f(x)＝xex－x＋2.
(1)若a＝1，求 f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求 a的取值范围．
解析 (1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－x＋2＝xex－x2－x＋2，
∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，∴当－1<x<0 时，f′(x)<0;
当x<－1或x>0 时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增．
(2)由f(x)≥x2－x＋2，得 x≥0，
当x＝0时，显然成立；
当x>0 时，即≥恒成立．
记g(x)＝，则 g′(x)＝，
当0<x<1 时，g′(x)<0，g(x)是减函数，
当x>1 时，g′(x)>0，g(x)是增函数．
∴g(x)的最小值为 g(1)＝e，∴≤e，得 a≤2e－2.
即a的取值范围是(－∞，2e－2]．
二、f(x)≥g(x)恒成立问题
例2 已知 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数 f(x)的最小值；
(2)对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a的取值范围．
解析　(1)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以 f(x)min＝f＝－.
(2)2xln x≥－x2＋ax－3，则 a≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，
则h′(x)＝，
①当 x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
②当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；所以 h(x)min＝h(1)＝4，
对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以 a≤h(x)min＝4，即 a的取值范围是(－∞，4]．
(对应训练)已知 f(x)＝－x3＋x－1，g(x)＝－2x＋m，当 x∈(0，2)时，f(x)<g(x)恒成立，
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