专题六 等比数列的前 n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(原卷版)

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专题六 等比数列的前 n项和
基本公式
1．在等比数列的前 n项和公式 Sn＝ 中 ， 如 果 令 A＝ ， 那 么 Sn＝Aqn－
A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即 Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数
列{an}为等比数列．
2．等比数列{an}中，若项数为 2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为 2n＋1，则＝q(S偶≠0).
3．涉及 Sn，S2n，S3n，…的关系或 Sn与Sm的关系考虑应用以下两个性质
(1)等比数列前 n项和为 Sn(且Sn≠0)，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为
qn(q≠－1)．
(2)等比数列{an}的公比为 q，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm.
4．错位相减法
(1)推导等比数列前 n项和的方法
一般地，等比数列{an}的前 n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①
用公比 q乘①的两边，可得 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， ②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得 Sn＝(q≠1)．
(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}
为等差数列，{bn}为等比数列，且 q≠1.
例题分析
一、等比数列的前 n项和的基本计算
例1 (1)等比数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 a2a3＝2a1，且 a4与2a7的等差中项为，则
S5＝(　　)
A．29　　 B．31　　 C．33　　 D．36
(2)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n项的和为 Sn，已知 S3＝，S6＝，则 a8＝
______.
(对应训练一)在等比数列{an}中，
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求 a4和S5；
(3)若a3＝，S3＝，求 a1和公比 q.
(对应训练二)已知等差数列{an}满足 a3＝2，前 3项和 S3＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足 b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前 n项和 Tn.
二、等比数列的前 n项和的性质
例2 (1)各项均为正数的等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S4＝10，S12＝130，则 S8
＝(　　)
A．－30　 B．40　 C．40 或－30　 D．40 或－50
(2)等比数列{an}各项为正，a3，a5，－a4成等差数列，Sn为{an}的前 n项和，则＝_____
_.
(对应训练一) (1)一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的 4倍，前三
项之积为 64，求此数列的通项公式；
(2)在等比数列{an}中，若前 10 项的和 S10＝10，前 20 项的和 S20＝30，求前 30 项的和
S30.
(对应训练二) (1)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前 n项和，且 S10＝
10，S30＝70，那么 S40＝(　　)
A．150　　 B．－200 C．150 或－200　　 D．400 或－50
(2)在递增等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2·an－1＝64，且前 n项和 Sn＝62，则项数
n等于(　　)
A．4　　 B．5 C．6　　 D．7
(对应训练三) (1)一个等比数列的首项为 1，项数是偶数，其奇数项的和为 85，偶数项
的和为 170，求此数列的公比和项数；
(2)在等比数列{an}中，公比 q＝2，前 99 项的和 S99＝56，求 a3＋a6＋a9＋…＋a99 的值．
三、等比数列前 n项和的综合应用
例3 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
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