专题六 等比数列的前 n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题六 等比数列的前 n项和
基本公式
1．在等比数列的前 n项和公式 Sn＝ 中 ， 如 果 令 A＝ ， 那 么 Sn＝Aqn－
A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即 Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数
列{an}为等比数列．
2．等比数列{an}中，若项数为 2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为 2n＋1，则＝q(S偶≠0).
3．涉及 Sn，S2n，S3n，…的关系或 Sn与Sm的关系考虑应用以下两个性质
(1)等比数列前 n项和为 Sn(且Sn≠0)，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为
qn(q≠－1)．
(2)等比数列{an}的公比为 q，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm.
4．错位相减法
(1)推导等比数列前 n项和的方法
一般地，等比数列{an}的前 n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①
用公比 q乘①的两边，可得 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， ②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得 Sn＝(q≠1)．
(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}
为等差数列，{bn}为等比数列，且 q≠1.
例题分析
一、等比数列的前 n项和的基本计算
例1 (1)等比数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 a2a3＝2a1，且 a4与2a7的等差中项为，则
S5＝(　　)
A．29　　 B．31　　 C．33　　 D．36
(2)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n项的和为 Sn，已知 S3＝，S6＝，则 a8＝
______.
解析　(1)由题意可得
由①②解得 a1q3＝2，a1q6＝，∴q3＝，∴q＝，a1＝16，
∴S5＝＝＝31.
(2)当q＝1时，显然不符合题意；
当q≠1 时，
解得则 a8＝×27＝32.
答案 (1)B (2)32
归纳总结：等比数列前 n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前 n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其
中首项 a1和公比 q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行
消元，有时会用到整体代换．
(对应训练一)在等比数列{an}中，
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求 a4和S5；
(3)若a3＝，S3＝，求 a1和公比 q.
解析　(1)由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件，
得∴a1＝3.
又∵2n－1＝＝32，∴n＝6.
(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即 q＝，∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×3＝1，S5＝＝＝.
(3)当q＝1时，S3＝3a1，a3＝a1＝. 3×∴＝S3＝，∴a1＝，q＝1.
当q≠1 时，S3＝＝，a3＝a1·q2＝，
∴(1＋q＋q2)＝，∴q＝－，q＝1(舍去)，∴a1＝6.
综上所述：或
答案 (1) a1＝3，n＝6 (2) a4＝1，S5＝ (3) 或
(对应训练二)已知等差数列{an}满足 a3＝2，前 3项和 S3＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足 b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前 n项和 Tn.
解析　(1)设{an}的公差为 d，则由已知条件得 a1＋2d＝2,3a1＋d＝，化简得 a1＋2d＝
2，a1＋d＝，解得 a1＝1，d＝，故通项公式 an＝1＋，即 an＝.
(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.设{bn}的公比为 q，则 q3＝＝8，从而 q＝2.故{bn}的前 n
项和 Tn＝＝＝2n－1.
答案 (1) an＝ (2) 2n－1
二、等比数列的前 n项和的性质
例2 (1)各项均为正数的等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S4＝10，S12＝130，则 S8
＝(　　)
A．－30　 B．40　 C．40 或－30　 D．40 或－50
(2)等比数列{an}各项为正，a3，a5，－a4成等差数列，Sn为{an}的前 n项和，则＝_____
_.
解析　(1)S4，S8－S4，S12－S8构成等比数列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，
因为 S4＝10，S12＝130，∴(S8－10)2＝10(130－S8)．解得 S8＝40.故选 B．
(2)因为等比数列{an}各项为正，a3，a5，－a4成等差数列，所以 a1q2－a1q3＝2a1q4,2q2＋
q－1＝0，q＝或 q＝－1(舍去)，＝＝1＋()3＝.
答案 (1) B (2)
归纳总结：等比数列前 n项和性质的应用技巧
(1)在涉及奇数项和 S奇与偶数项和 S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项数为
2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为 2n＋1，则＝q(S偶≠0)．
(2)涉及 Sn，S2n，S3n，…的关系或 Sn与Sm的关系考虑应用以下两个性质
①等比数列前 n项和为 Sn(且Sn≠0)，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为
qn(q≠－1)．
②等比数列{an}的公比为 q，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm.
特别提醒：易误认为 Sn，S2n，S3n成等比数列．
(对应训练一) (1)一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的 4倍，前三
项之积为 64，求此数列的通项公式；
(2)在等比数列{an}中，若前 10 项的和 S10＝10，前 20 项的和 S20＝30，求前 30 项的和
S30.
解析　(1)设此数列{an}的公比为 q，由题意，知 S奇＋S偶＝4S偶，
∴S奇＝3S偶，∴q＝＝.
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