专题九 裂项相消法求数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题九 裂项相消法求数列的前 n项和
基本公式
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从
而求得其和．形如：an＝f(n)－f(n－1)，采用裂项相消法求{an}前n项和
常见的裂项公式
(1)若{an}是等差数列，则＝(－)，＝(－).
(2)＝(－).
(3)＝＝(－).
(4)＝－.
(5)＝[－].
(6)＝1＋.
(7)＝(－)．
(8)loga＝loga(n＋1)－logan
例题分析
一、裂项相消法在数列中的应用
例1 已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，满足 a1＋a2＝10，S5＝40.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前 n项和 Tn.
解析　(1)设公差为 d，由题意得
，解得.
∴an＝4＋2(n－1)＝2n＋2.
(2)bn＝＝(－)，
∴Tn＝[(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(－)＝.
答案 (1) an＝2n＋2 (2)
归纳总结：裂项求和法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和
多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去
哪些项，保留哪些项，例如：
(1)若{an}为等差数列，公差为 d，则＝(－)；
(2)＝－等．
(对应训练)已知数列{an}是递增的等比数列，且 a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前 n项和，bn＝，求数列{bn}的前 n项和 Tn.
解析　(1)由题设知 a1a4＝a2a3＝8，
又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．
设等比数列{an}的公比为 q，由 a4＝a1q3得q＝2，
故an＝a1qn－1＝2n－1，nN∈*.
(2)因为 Sn＝＝2n－1，
又bn＝＝＝－，
所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋
＝－
＝1－.
答案 (1) an＝2n－1 (2) 1－
二、裂项相消法在对数函数中的应用
例2 等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前 n项和．
解析　(1)设数列{an}的公比为 q，由 a＝9a2a6得a＝9a，所以 q2＝.
由条件可知 q>0，故 q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以 a1＝.
故数列{an}的通项公式为 an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2(－)，
＋＋…＋＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－.
所以数列{}的前 n项和为－.
答案 (1) an＝ (2) －
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