专题二 数列中求通项的常用方法-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(原卷版)

3.0 envi 2025-05-18 22 4 26.25KB 6 页 3知币
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专题二 数列中求通项的常用方法
基本知识点
一、数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区
别
表示 an与它的前一项 an－1 (或前几项)之间的关系 表示 an与n之间的关系
联
系
(1)都是表示数列的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
二、数列的前 n项和与通项公式的关系：an＝
三、给出了递推公式求通项公式的方法
1．求形如 an＋1＝an＋f(n)的通项公式：将原来的递推公式转化为 an＋1－an＝f(n)，再用
累加法(逐差相加法)求解，即 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋
f(3)＋…＋f(n－1)．
2．求形如 an＋1＝f(n)an的通项公式：将原递推公式转化为＝f(n)，再利用累乘法(逐商相
乘法)求解，即由＝f(1)，＝f(2)，…，＝f(n－1)，累乘可得＝f(1)f(2)…f(n－1)．
3．{an}为周期数列，则周期为 T(T为正整数)时，an＝an＋T，可将 an转化为 a1，a2，
…，aT处理．
4．单调性是数列的一个重要性质．若 an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若 an＋1<an
恒成立，则{an}为递减数列．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断 an＋1
与an(nN∈*)的大小．用作差(商)法判断数列增减性的步骤为：①作差(商)；②变形；③定号
(与1比较)；④结论．
例题分析
一、数列的函数特性
例1　已知数列{an}的通项公式为 an＝，写出它的前 5项，并判断该数列的单调性．
(对应训练一)数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是(　　)
A.　　　　　　 B．30 C．31 D．32
(对应训练二)已知数列{an}的通项 an＝(a，b，c都是正实数)，则 an与an＋1的大小关系
是_____________．
二、累加法求形如 an＋1＝an＋f(n)的通项
例2　已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
(对应训练)已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项 an等于(
)
A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n
三、累乘法求形如 an＋1＝f(n)an的通项
例3　已知数列{an}，a1＝1，(n＋1)an＋1＝nan，求通项公式 an.
(对应训练)已知数列{an}满足 a1＝2，an＝a1＋…＋an－1(n≥2)，则当 n≥2时，an等于(
)
A．2n B． C．2n－1 D．2n－1
四、由递推公式求数列的项
例4　数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前 5项．
(对应训练)已知数列{an}满足 an＋1＝若 a1＝，则 a2 019＝________.
五、数列的最大、最小项问题
例5　已知数列{an}的通项公式是 an＝·n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大
项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
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