专题二 数列中求通项的常用方法-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题二 数列中求通项的常用方法
基本知识点
一、数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区
别
表示 an与它的前一项 an－1 (或前几项)之间的关系 表示 an与n之间的关系
联
系
(1)都是表示数列的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
二、数列的前 n项和与通项公式的关系：an＝
三、给出了递推公式求通项公式的方法
1．求形如 an＋1＝an＋f(n)的通项公式：将原来的递推公式转化为 an＋1－an＝f(n)，再用
累加法(逐差相加法)求解，即 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋
f(3)＋…＋f(n－1)．
2．求形如 an＋1＝f(n)an的通项公式：将原递推公式转化为＝f(n)，再利用累乘法(逐商相
乘法)求解，即由＝f(1)，＝f(2)，…，＝f(n－1)，累乘可得＝f(1)f(2)…f(n－1)．
3．{an}为周期数列，则周期为 T(T为正整数)时，an＝an＋T，可将 an转化为 a1，a2，
…，aT处理．
4．单调性是数列的一个重要性质．若 an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若 an＋1<an
恒成立，则{an}为递减数列．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断 an＋1
与an(nN∈*)的大小．用作差(商)法判断数列增减性的步骤为：①作差(商)；②变形；③定号
(与1比较)；④结论．
例题分析
一、数列的函数特性
例1　已知数列{an}的通项公式为 an＝，写出它的前 5项，并判断该数列的单调性．
解析　对于公式 an＝，依次取 n＝1,2,3,4,5，得到数列的前 5项为 a1＝，a2＝，a3＝，a4
＝，a5＝.而an＋1－an＝－＝.
因为 nN∈＋，所以 1－n2－n<0，所以 an＋1－an<0，即 an＋1<an，故该数列为递减数列.
答案 递减数列
归纳总结：判断数列的单调性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法
有作差法和作商法．作商法适用于数列的各项都是同号的数列，用作差法还是作商法视具
体情况而定.
(对应训练一)数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是(　　)
A.　　　　　　 B．30 C．31 D．32
解析　an＝－n2＋11n＝－2＋，
∵n∈N＋，∴当 n＝5或6时，an取最大值 30，故选 B.
答案 B
(对应训练二)已知数列{an}的通项 an＝(a，b，c都是正实数)，则 an与an＋1的大小关系
是_____________．
解析 ∵a，b，c均为实数，f(x)＝＝在(0，＋∞)上是增函数，故数列 an＝在 n∈N＋时
为递增数列，∴an<an＋1.
答案 an＋1>an
二、累加法求形如 an＋1＝an＋f(n)的通项
例2　已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
解析　(1)an＝an－1＋ (n≥2)，∴ a2－a1＝，a3－a2＝，a4－a3＝， … ， an－an－1＝
(n≥2)，以上各式相加，得 an－a1＝＋＋＋…＋.又＝－，∴an－a1＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－，∴an＝a1＋1－＝2－＝(n≥2)．a1＝1满足上式，∴an＝(nN∈*).
答案
归纳总结：求形如 an＋1＝an＋f(n)的通项公式
将原来的递推公式转化为 an＋1－an＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即 an＝a1＋
(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．
(对应训练)已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项 an等于(
)
A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n
解析　∵an＋1－an＝－1，∴a2－a1＝－1，a3－a2＝－1，…
an－an－1＝－1，以上 n－1个等式累加得 an－a1＝－(n－1)，
∴an＝2－n＋1＝3－n.故选 D.
答案 D
三、累乘法求形如 an＋1＝f(n)an的通项
例3　已知数列{an}，a1＝1，(n＋1)an＋1＝nan，求通项公式 an.
解析　∵(n＋1)an＋1＝nan，∴＝.
∴＝，＝，＝，…，＝(n≥2)．
以上各式相乘，得＝.∵an＝＝(n≥2)，
又a1＝1满足上式，∴an＝(nN∈*)．
答案
归纳总结：求形如 an＋1＝f(n)an的通项，常用 an＝··…··a1求通项公式．
(对应训练)已知数列{an}满足 a1＝2，an＝a1＋…＋an－1(n≥2)，则当 n≥2时，an等于(
)
A．2n B． C．2n－1 D．2n－1
解析　由 an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，
得an－1＝a1＋a2＋…＋an－2(n≥3)，
两式相减得，an＝2an－1，即＝2(n≥3)，
则an＝a2··…·＝a2·2n－2，
又a2＝a1＝2，∴an＝2n－1(n≥3)．
又∵a2＝2也适合，∴an＝2n－1(n≥2)．故选 C.
答案 C
四、由递推公式求数列的项
例4　数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前 5项．
解析　由a－anan＋2＝(－1)n，得 an＋2＝，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝
33，a5＝＝＝109.∴数列{an}的前 5项为 1,3,10,33,109.
答案 1,3,10,33,109.
归纳总结：由递推公式求数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计
算即可．
(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
(对应训练)已知数列{an}满足 an＋1＝若 a1＝，则 a2 019＝________.
解析 计算得 a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝，a4＝2a3＝.故数列{an}是以 3为周期的周期
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