专题二 求导法则及复合函数求导-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版)

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专题二 求导法则及复合函数求导
基本公式
一、导数运算法则
1．和差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
2．积的导数：(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(2)[cf(x)]′＝cf′(x)．
3．商的导数：＝，g(x)≠0.
二、复合函数的导数：
复合函数的概念及求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量 u，y可
以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和u＝g(x)的复合
函数，记作 y＝f(g(x)).
复合函数
的求导法则
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关
系为＝·，即 y对x的导数等于 y对u的导数与 u对x的导数的乘积.
例题分析
一、导数运算法则的应用
例1 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
(1)y＝x2－2x－4ln x；(2)y＝x·tan x；(3)y＝；
(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(5)y＝x＋sin cos .
解析 (1)y′＝2x－2－.
(2)y′＝(x·tan x)′＝′＝
＝＝.
(3)y′＝＝.
(4)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.
(5)先使用三角公式进行化简，得 y＝x＋sin x
∴y′＝′＝x′＋′＝1＋cos x.
归纳总结：解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和
法则，对较为复杂的求导运算，如综合了和、差、积、商几种运算的函数，在求导之前应
先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
(对应训练一)求下列函数的导数：(1)y＝x2·ex；(2)y＝cos 2x；(3)y＝ln 8x；(4)y＝.
解析　(1)y′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝(2x＋x2)·ex.
(2)令u＝2x，y＝cos u，则 yx′＝yu′·ux′＝(cos u)′·(2x)′＝－2sin 2x.
(3)令u＝8x，y＝ln u，则 yx′＝yu′·ux′＝(ln u)′·(8x)′＝8·＝.
(4)y′＝＝＝.
(对应训练二)(1)设函数 f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中 θ∈，则导数 f′(1)的取值范围是(　　)
A．[－2,2]　　　　 B．[，] C．[，2] D．[，2]
(2)已知 f(x)＝，若 f′(x0)＋f(x0)＝0，则 x0的值为________．
解析　(1)f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x，∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin，
∵θ∈，∴sin∈，∴2sin∈[，2]．
(2)∵f′(x)＝＝(x≠0)．
∴由 f′(x0)＋f(x0)＝0，得＋＝0，解得 x0＝.
答案　(1)D　(2)
二、复合函数的导数
例2 写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝cos(2 008x＋8)；(3)y＝21－3x；(4)y＝ln(8x＋6)．
解析　(1)引入中间变量 u＝φ(x)＝3－4x.
则函数 y＝是由函数 f(u)＝＝u－4
与u＝φ(x)＝3－4x复合而成的．
查导数公式表可得 f′(u)＝－4u－5＝－，φ′(x)＝－4.
根据复合函数求导法则可得′＝f′(u)φ′(x)
＝－·(－4)＝＝.
(2)引入中间变量 u＝φ(x)＝2 008x＋8，
则函数 y＝cos(2 008x＋8)是由函数 f(u)＝cos u与u＝φ(x)＝2 008x＋8复合而成的，
查导数公式表可得 f′(u)＝－sin u，φ′(x)＝2 008.
根据复合函数求导法则可得[cos(2 008x＋8)]′＝f′(u)φ′(x)＝(－sin u)·2 008
＝－2 008sin u＝－2 008sin( 2 008x＋8)．
(3)引入中间变量 u＝φ(x)＝1－3x，
则函数 y＝21－3x是由函数 f(u)＝2u与u＝φ(x)＝1－3x复合而成的，
查导数公式表得 f′(u)＝2uln 2，φ′(x)＝－3，
根据复合函数求导法则可得
(21－3x)′＝f′(u)φ′(x)＝2uln 2·(－3)＝－3×2uln 2
＝－3×21－3xln 2.
(4)引入中间变量 u＝φ(x)＝8x＋6，
则函数 y＝ln(8x＋6)是由函数
f(u)＝ln u与u＝φ(x)＝8x＋6复合而成的，
查导数公式表可得 f′(u)＝，φ′(x)＝8.
根据复合函数求导法则可得[ln(8x＋6)]′＝f′(u)·φ′(x)＝＝.
归纳总结：复合函数求导的注意事项
(1)求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量．
(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，如 y＝cos 2x可由 y
＝cos u和u＝2x复合而成，第一步为 y对u求导，第二步为 u对x求导．
(3)复合函数求导后，要把中间变量换成自变量的函数．
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟练后中间步骤可省略．
(对应训练)求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝e2x＋1；(3)y＝ln(3x－1)；(4)y＝sin；(5)y＝esin(ax＋b)；
(6)y＝5log2(2x＋1)。
解析　(1)设y＝，u＝3x－x2，则 yx′＝yu′·ux′＝·(3－2x)＝.
(2)设y＝eu，u＝2x＋1，则 yx′＝yu′·ux′＝eu·2＝2e2x＋1.
(3)设y＝ln u，u＝3x－1，则 yx′＝yu′·ux′＝(ln u)′·(3x－1)′
＝·3＝.
(4)设y＝sin u，u＝2x＋，则 yx′＝yu′·ux′＝(sin u)′·′
＝cos u·2＝2cos.
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